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Intervalles de Fluctuation

Dans ce cours, nous devons déterminer un intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire X. La loi binomiale est utilisée, avec n égal à 40 et p égal à 0,2. Nous posons α égal à 0,05 et souhaitons trouver un intervalle centré au seuil 1-α pour X. Tout d'abord, nous calculons α/2, soit 0,025. Ensuite, nous cherchons le plus petit entier k tel que la probabilité p(x<k) soit supérieure à 0,025, et le plus petit entier i tel que la probabilité p(x<i) soit supérieure à 0,095. Nous recherchons ainsi une zone où nous avons 95% de chances de nous situer. En utilisant des calculs et des approximations, nous trouvons que k=3 et i=13. Finalement, notre intervalle de fluctuation centré associé à X au seuil 0,095 est de 3 à 13. En d'autres termes, nous avons 95% de chances que X soit compris entre 3 et 13.

Cette fois, ça va être à nous de déterminer l'intervalle de fluctuation. Là, on considère une variable aléatoire x, dont on connaît la loi binomiale, n vaut 40 et p égale 0,2. On pose α égale 0,05 et on veut déterminer un intervalle de fluctuation centré au seuil 1-α pour cette variable aléatoire X. Ça fait beaucoup d'informations, mais c'est assez simple. Vu qu'on veut un intervalle centré, on va calculer α sur 2. Ici, ça vaut 0,025. Ensuite, on va chercher deux choses. Le plus petit entier k, tel que p de x inférieur à k soit plus grand que α sur 2, donc 0,025. On cherche aussi le plus petit entier i, tel que p de x inférieur à i soit plus grand que 1-α sur 2, donc 0,095. Sur un schéma, ça se matérialise très bien. On va chercher cette zone sur laquelle on a 95% de chance de se situer. Il faut que sur les zones à l'extérieur, on ait α sur 2 et α sur 2. On aura 2,5% de chance d'être dans cette zone-là et 2,5% aussi. Nous, ce qu'on cherche, c'est les bornes de cet intervalle k et i. Là, on va passer par tâtonnement. Il faut regarder un peu la calculatrice, etc. Moi, par tâtonnement, je trouve que la probabilité que x soit inférieur à... En faisant le calcul à la calculette, bien sûr. Pour x inférieur à 2, on trouve 0,008. Pour x inférieur à 3, on trouve 0,0285. Le premier qui fonctionne, c'est bien 3. A 2, je suis en dessous. Là, je suis juste à la limite. Maintenant, pour le seuil à 0,0975, pour x inférieur à 12, on trouve 0,0957. Pour x inférieur à 13, on trouve 0,0981. Donc, le i qu'on cherche, c'est 13. Finalement, notre intervalle de fluctuation centré associé à x au seuil 0,095, c'est 3,13. Autrement dit, en français, c'est dire que j'ai 95% de chance que ma variable aléatoire x soit comprise entre 3 et 13.

Déterminer un intervalle de fluctuation

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