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Analyse Terminale

Théorèmes de Convergence

La méthode pour déterminer les limites des polynômes et des fonctions rationnelles est très simple. On factorise par le terme de plus haut degré, appelé terme de Claudegris. Par exemple, pour un polynôme G2x, on factorise par x4, ce qui donne 1+4/x^2-2/x^3. Peu importe si x tend vers plus infini ou moins infini, la limite sera plus infini. Pour une fonction rationnelle, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de Claudegris. Par exemple, pour h2x = (2x^2)/(1-x), on factorise le dénominateur par x, ce qui donne (2x)/(1+1/x). En faisant attention aux signes, on trouve que la limite sera moins infini en moins infini, et plus infini en plus infini. En résumé, il suffit de factoriser par le terme de plus haut degré pour résoudre les indéterminations des polynômes et des fonctions rationnelles. Il est important de maîtriser cette méthode car elle fonctionne à tous les coups.

On va regarder maintenant la méthode pour déterminer les limites en plus et moins d'infini des polynômes et des fonctions rationnelles. Ça tombe bien, ça c'est vraiment très simple en fait, la technique c'est factorisé par le terme de Claudegris, donc on va se forcer tout le temps à faire ça. Donc on a une première fonction qui est un polynôme, G2x qui est la x4 plus 4x sub-2x, on voit bien qu'a priori on a une forme indéterminée, si on parie, parce que là en plus infini ça s'étend vers plus infini, plus infini moins l'infini, donc la somme des deux c'est indéterminé, en moins l'infini, pareil on aura un problème parce que ça s'étend vers plus infini, moins l'infini, bon bref, on a un souci. Donc la méthode c'est toujours la même, je factorise par le terme de Claudegris, donc il n'y a que lui qui va compter en fait, c'est ça si on résume en une phrase, c'est que la seule chose qui va compter c'est lui, peu importe les autres, c'est que lui qui va déterminer la limite. Donc je factorise par x4, donc ça me fait 1 plus 4 sur x pour faire 2x puissance 3, moins 2 sur x au cube, et en fait l'intérêt c'est que ça va tendre vers 0, que ce soit d'ailleurs en plus l'infini ou moins l'infini, donc la somme des trois ça va tendre vers 1, et du coup x4 ça va tendre vers plus l'infini, d'ailleurs que x tende vers plus ou moins l'infini c'est le même résultat, donc par produit j'obtiens que la limite c'est la même, limite de g en plus et moins l'infini ça va être plus l'infini. Maintenant pour une fonction rationnelle qui a une quotient de deux polynômes, c'est exactement la même méthode, on factorise par le terme de Claudegris en haut et en bas. Donc là, le numérateur il n'y a rien à faire parce qu'il n'y a qu'un seul terme, 2x², mais le dénominateur je vais factoriser mon 1-x par le terme de Claudegris, c'est x. Donc je dis que c'est x, alors je me rends compte que j'ai fait une erreur, c'est x facteur de moins 1 plus 1 sur x, du coup c'est moins 1 plus 1 sur x, ouais tout à fait, donc ça va tendre vers moins 1. Donc là quand je factorise, mon x² s'amplifie partiellement avec mon x, il me reste 2x sur moins 1 plus 1 sur x, donc ça ça va tendre vers moins 1, et donc par quotient, il faut juste que je fasse attention au signe, donc 2x ça tend moins l'infini vers moins l'infini, moins l'infini divisé par moins 1 ça fait plus l'infini, et au contraire, en plus l'infini il se passe exactement le contraire, donc là ça sera moins l'infini. Petite erreur de signe, je vérifie que tout est bon, oui c'est ça, donc du coup h2x va tendre en moins l'infini vers plus l'infini, et en plus l'infini vers moins l'infini. Donc voilà, si on résume c'est vraiment très simple, je préfère dire de calcul, mais du coup, oui pour les polynômes et les fonctions rationnelles, je vais juste factoriser par le terme de plus haut degré, et tout de suite ça va résoudre et ça va lever toutes mes indéterminations. Voilà pour cette méthode qu'il faut absolument maîtriser, donc entraînez-vous là-dessus si ce n'est pas clair, parce que ça, ça marche à tous les coups.

Forme indéterminée : utilisation du terme plus haut degré

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