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Analyse Terminale

Théorèmes de Convergence

La croissance comparée est une méthode utile en mathématiques pour étudier le comportement des fonctions. Dans ce cours, nous avons analysé deux fonctions.

La première fonction est f(x) = e^x/x. Pour x tendant vers l'infini, cette fonction tend également vers l'infini. En utilisant la croissance comparée, nous constatons que e^x domine toute puissance de x, même si cette dernière est très grande. Ainsi, f(x) tend vers l'infini.

La deuxième fonction est h(x) = x^4 / e^2x. Lorsque x tend vers moins l'infini, nous observons que x^4 tend vers moins l'infini, tandis que e^2x reste constant. Puisque le terme x^4 est plus grand que le terme e^2x, selon la croissance comparée, h(x) tend vers moins l'infini.

En résumé, la croissance comparée nous permet de déterminer le comportement des fonctions. L'exponentielle (e^x) l'emporte sur toute puissance de x, tandis que le logarithme (ln) est inférieur à toute puissance de x. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.

Dernière méthode très utile, utiliser la croissance comparée, ça peut servir très souvent. Typiquement, première fonction qu'on nous demande d'étudier, e de x sur x. Donc e de x sur x, déjà en moins l'infini il n'y a pas de souci, puisque e de x attend vers 0, x est sur moins l'infini, 0 sur moins l'infini, ça fait toujours 0, donc pas de problème. En plus infini, de base, on a une forme indéterminée, puisque ça fait plus infini sur plus infini, et par croissance comparée, c'est ce que me dit mon cours, finalement, je sais que e de x l'emporte sur toute puissance de x, e de x sur x puissance n, dans tous les cas, même si n est très grand, ça tendra toujours vers plus infini. Donc voilà, f tend vers plus infini. Ensuite, on a une deuxième fonction, h, qui est un peu différente, un peu plus complexe. Faisons une petite analyse, en moins l'infini, j'ai ce truc-là qui tend vers plus infini, et maintenant, qu'est-ce qu'on fait du x e de x ? En fait, moi ce que je sais, c'est par croissance comparée, ce qu'on vient de dire, c'est que e de x sur x, en plus l'infini, ça tend vers plus infini. Et là, je vais poser un petit changement de variable astucieux, je pose grand x également x. Quand x tend vers moins infini petit x, c'est-à-dire que grand x tend vers plus infini, et donc en l'écrivant comme ça, le moins d'e de x, e de x, e de x, je peux dire que c'est 1 sur e de moins x, et je me retrouve avec mon x sur e de x, qui est l'inverse de ma croissance comparée de référence. Donc du coup, l'inverse de l'infini, c'est 0, donc ça, ça va tendre vers 0. Donc par composition des limites, ce moins 2x de 2x, en moins l'infini, va tendre vers 0. L'idée, c'est toujours la même, et l'exponential qui l'emporte, l'exponential tend vers 0, elle l'emporte sur x, quoi qu'il arrive, ou n'importe quelle puissance de x. Et le x puissance 4, il tend vers moins l'infini, enfin en moins l'infini, il tend vers plus infini, le e de 2, c'est une constante, ça ne va pas bouger, donc du coup, par somme, j'en déduis que ma fonction, je ne sais plus si c'était k ou h, je crois que c'est k, k de x tend vers plus l'infini quand x tend vers moins l'infini. En fait, le terme qui va compter, finalement, c'est le x puissance 4. Donc la croissance comparée, ça peut être très utile, il y a l'exponential à retenir, l'exponential l'emporte devant toute puissance de x, le ln, au contraire, perd, toute puissance de x l'emporte toujours par rapport au logarithme, par rapport à ln, donc quelle que soit la puissance du logarithme. Donc voilà, bien penser à utiliser ces croissances comparées de référence, ça nous permet de lever très facilement la détermination. Donc si vous avez la moindre question, n'hésitez pas à aller sur la FAQ. Voilà pour cette méthode.

Limites : la Croissance comparée

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