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Analyse Terminale

Théorèmes de Convergence

Le sujet abordé dans ce cours est l'utilisation des quantités conjuguées dans le calcul mathématique. L'orateur explique que l'utilisation de quantités conjuguées peut conduire à des erreurs si elles ne sont pas correctement appliquées. Il présente une méthode pour résoudre des équations complexes en séparant une fraction en deux parties et en utilisant des quantités conjuguées pour simplifier les calculs.

L'orateur divise la fraction en deux parties et nomme ces parties "1" et "2". Il commence par résoudre le "bloc 1" en utilisant une quantité conjuguée. Il simplifie les calculs en utilisant des propriétés de la racine carrée et démontre que lorsque x tend vers a, le résultat tend vers zéro.

Ensuite, l'orateur aborde le "bloc 2" qui est moins complexe que le premier. Il utilise les résultats obtenus dans le bloc 1 pour simplifier les calculs et conclut que la fonction f(x) tend vers -1/(2racine(x)) lorsque x tend vers a.

En résumé, ce cours explique comment utiliser des quantités conjuguées pour simplifier des calculs mathématiques complexes. L'orateur divise une fraction en deux parties, résout une partie en utilisant une quantité conjuguée, puis utilise ces résultats pour simplifier la deuxième partie de la fraction. La méthode présentée permet de résoudre des équations avec des racines carrées et d'obtenir des résultats plus simples et plus précis.

Celui-ci, je vais vous faire le D d'abord. Le D, c'est de nouveau une quantité conjuguée avec une étape en plus. Un truc qui serait une source d'erreur, mais je vous le dis parce que j'ai essayé de le faire pour voir où ça menait ou si ça pouvait marcher, c'est de se dire, je fais une quantité conjuguée comme ça, ou je fais tout ça, et en gros c'est ce moins que je transforme en plus. Si vous faites ça, ça va être l'enfer, ça ne marchera pas. Vous allez aller dans des calculs, etc. Ça ne marchera pas du tout. Je vous le dis. Un autre truc qui est possible, c'est de se dire, attends, ces deux-là, ça c'est une différence de racine. Parce que là, je ne partais pas sur une différence de racine justement. Ce n'était pas une bonne quantité conjuguée, ce que j'ai proposé. Parce qu'une quantité conjuguée, c'est quand on a une différence de racine. Là, j'ai une différence entre ce machin-là, qui n'est pas vraiment facile à écrire comme une racine unique, d'ailleurs pas du tout, moins une racine. Pas ouf. Alors que ces deux-là, ce n'est pas trop mal. Peut-être que ce que je peux faire, c'est séparer en deux la fraction. Si je la sépare en deux comme ça, là, je pourrais peut-être faire une quantité conjuguée, on verra ce que ça donne. Et là, x-a, ça peut se retrouver là-dedans, donc ça sent bon. Donc on peut écrire ce machin, je peux l'écrire comme ça. Je fais l'étape directement sur racine de x2-2 moins racine de x-a avec a positif, bien sûr. Parce que sinon, x-a, la racine-là, n'est même pas définie. Donc je vais appeler ça 1 et appeler ça 2. On va gérer les deux séparément. Si vous gérez d'un coup, vous allez juste recopier plein de choses et ça vous donne plus d'occasion de faire des erreurs à l'écrit. Donc on va gérer d'abord le bloc 1, l'ensemble 1, avec une quantité conjuguée. Donc ce machin-là, ça devient en haut, pas trop compliqué. Racine de x-a, moins racine de x-a, ça fait au carré x-a, le tout divisé par racine de x2-2 fois racine de x plus racine de a. En règle générale, le terme avec le plus, c'est plus un terme problématique. Et si on regarde, en effet, quand x va tendre vers a, ici je vais obtenir 2 racines de a. Donc ça va être simple. C'est plus ici que ça va se jouer. Tout de suite, je peux dire racine de x2-2, ça c'est racine de x-a, x plus a. Comme tout est positif ici, ça fait racine de x moins a, racine de x plus a. Super. Je vais pouvoir continuer et dire, ça me fait donc x moins a. Je mets tous les trucs non problématiques ici. Là il n'y a que des signes plus, ça ne pose aucun problème. Tout ça c'est égal à, je me rends compte que ça, ça simplifie. Ça fait racine de x moins a, parce que ça en fait, c'est x moins a sur racine de x moins a. C'est comme 3 sur racine de 3, si vous avez 3 sur racine de 3, ça fait racine de 3. Donc en fait, au final, quand j'ai x moins a sur racine de x moins a, j'obtiens racine de x moins a. Et en dessous, j'ai... J'en ai une pour ce problème, parce que tout ce qui est en dessous, ça quand x tend vers a, vous avez qu'à le remplacer. A plus, ça tend vers racine de 2a fois racine de a plus racine de 2 racine de a. Et ce machin là, quand x tend vers a plus, ça tend vers 0. Et 0 soit quelque chose de fini. On peut dire que le tout tend vers 0 quand x tend vers a plus. Il faut être précis et dire 0 plus d'ailleurs. Pas trop compliqué. Disons qu'il faut prendre le bon départ. Donc là, ce n'est pas vraiment deux étapes, c'est plus... Un premier départ ici, se rendre compte qu'on peut faire une quantité conjuguée qui n'est pas simple, et on est bon. Il ne reste plus que le bloc 2 ensuite. Le bloc 2, lui, n'est pas trop trop complexe. On l'a déjà fait en fait, on vient de le gérer. Ça fait racine de x moins a sur racine de x2 moins a2 avec tout ce qu'on vient d'écrire, notamment ce qu'on a écrit ici. On sait que ça, ça fait... Et donc, ma fonction, ce machin là, si je le... Si je le... Comment dire ? Si je conclue, quoi ? Je peux dire, je vais l'appeler genre, je ne sais pas, f. A2x tend envers, moins 1 sur 2 racine de x tend envers. Pas plus. C'est simple et efficace.

Quantité conjugée piégeuse

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