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Analyse Terminale

Définition et Propriétés

Résumé SEO friendly du cours :

Ce cours porte sur la résolution d'inéquations avec l'exponentiel et le logarithme. Les propriétés importantes à connaître sont présentées une par une. Il est essentiel de prendre en compte que le logarithme est défini uniquement sur l'ensemble des réels strictement positifs. En revanche, l'exponentiel ne pose jamais de problème de ce côté-là. Les exemples d'inéquations résolues montrent comment composer avec ces fonctions croissantes et garantir des solutions valides. Il est également souligné l'importance de bien vérifier l'ensemble de définition de l'équation ou de l'inéquation au préalable. Enfin, des conseils pratiques sont donnés pour simplifier les équations et les inéquations en rassemblant les termes en exponentiels ou en logarithmes avant de composer avec les fonctions réciproques. Il faut également prendre en compte les signes lorsqu'on divise ou multiplie dans une équation. En cas de doute, il est recommandé de consulter la FAQ pour éclaircir certaines notions.

Bienvenue dans le monde du logarithme. Dans cette méthode, on va visiter toutes les propriétés qu'il est bon de connaître pour pouvoir résoudre des inéquations avec l'exponentiel et le logarithme. On va les prendre une par une et on va les résoudre. Pour la première, on commence assez simple, ln de x égale 2. A chaque fois, il faut bien se dire que je compose par l'exponentiel ou par le logarithme qui sont des fonctions croissantes et ça joue un rôle très important pour les inégalités. Quand je compose par le ln, il faut toujours vérifier que j'ai bien quelque chose de strictement positif parce que la fonction ln est définie uniquement sur Réatoile+. Pour l'exponentiel, il n'y aura jamais de problème. Par contre, pour le ln, il faut faire attention. Là, je compose par l'exponentiel. Justement, là, je n'ai pas besoin de faire attention parce que quoi qu'il arrive, ça marche. Donc, ln de x que je compose, e de ln de x, ça fait x et e de 2, ça fait e de 2. Du coup, je vais trouver ma solution qui vaut x égale e de 2. Là, ça va. Ensuite, deuxième. Là, c'est e de x plus 1 égale 5. Là, qu'est-ce que je vais faire ? Je vais composer par le logarithme et comme e de x plus 1, l'exponentiel est toujours positif. 5, c'est strictement positif aussi, donc je peux composer par le logarithme entre là et là. Et du coup, ça fait x plus 1 égale ln de 5. Et là, je trouve immédiatement que x égale ln de 5 moins 1. Ensuite, 3 ln de x moins 4 égale 8. Alors là déjà, attention, l'équation, toujours, toujours, toujours, regardez l'ensemble de définition d'une équation d'une inéquation. Là ici, c'est R étoile plus, donc je résous tranquillement. Le but, c'est d'isoler mon ln de x et au dernier moment, je compose par l'exponentiel. Donc j'ai ln de x égale 4 tiers et c'est là où j'ai composé par l'exponentiel et ça me fait x égale e de 4 tiers. Maintenant, on passe aux inéquations. Donc là, j'ai ln de 6x moins 1 qui est supérieur à 2. Donc déjà, pareil, toujours mon ensemble de définition, je regarde, défini sur 1 sixième plus l'infini puisque ce qui est à l'intérieur du ln doit être strictement positif. Donc je compose par l'exponentiel et ça me donne 6x moins 1 égale e de 2. Et je trouve que x doit être supérieur à e de 2 plus 1 sixième. Alors là, c'est là que c'est très important toujours qu'on trouve des solutions, des inéquations, des intervalles. Il faut toujours vérifier que ça ne contredit pas l'hypothèse initiale. Donc là, évidemment, c'est plus grand qu'un sixième puisque j'ai e de 2 qui est positif. Donc ça, on est bien en i. Mais ça peut ne pas être le cas. Donc on rencontrera dans les exercices. Des fois, c'est pas le cas. Donc du coup, comme notre intervalle de base dans lequel on cherche les solutions, c'est cet intervalle-là. Il faudra faire l'intersection de l'intervalle qu'on trouve à la fin avec celui initial. Donc ça, c'est très important. Donc là, encore une fois, ça ne se contredit pas. Il n'y a pas de problème. Ensuite, e de x plus 5 supérieur à 4e de x. Alors là, il y a des exponentiels de x à deux endroits. Il ne faut surtout pas passer au ln tout de suite. Ce qu'on va faire, c'est qu'on va essayer de rassembler les exponentiels ensemble. Et ensuite, on composera par le ln. C'est toujours au dernier moment qu'on compose. Donc là, j'idole. Donc j'ai 5 qui est supérieur à 3e de x. C'est-à-dire que e de x inférieur à 5 tiers. Et là, je compose par la fonction ln, qui est strictement croissante sur RéaToilePlus. Et donc, j'ai x qui est inférieur à 5 tiers. A ln de 5 tiers, pardon. Donc voilà ma solution. Donc c'est ce que je disais. Il faut bien rassembler tous les termes en exponentiels avant de composer par le local. Ensuite, pour le 2a. Il y a une équation un peu plus compliquée. On monte en complexité. Et on cherche à résoudre ln de x-3 plus ln de 9-x égale à 0. Donc là, il faut que ça fasse tilt. J'ai un truc ln de a plus ln de b. Je vais pouvoir les rassembler. Du coup, ça me fait ln de x-3 fois 9-x égale à 0. Là, une fois que j'ai rassemblé, je compose par mon exponentiel. Et donc, je retombe sur une équation de degré 2 classique. Là, je le déroule, je sais faire. Je trouve l'équation de degré 2. Je fais mon delta qui vaut 32. Quand je fais le calcul. Donc il y a deux solutions à l'équation. Il y a deux racines, x1 et x2. C'est 6 plus racine de 8 quand je fais le calcul. Et 6 moins racine de 8. Donc maintenant, il faut vérifier est-ce que ces solutions conviennent bien. Parce qu'initialement, j'ai fait exprès de ne pas le faire au début pour que vous voyiez. Là, cette équation n'est pas définie sur R tout entier. Parce qu'il faut que l'intérieur de l'n soit positif. Donc il faut que x soit supérieur à 3. Et que 9 moins x soit supérieur à 0. Donc là, je résous. Ça veut dire que finalement, si x moins 3 est supérieur à 0 et 9 moins x est supérieur à 0, c'est-à-dire que x est supérieur à 3 et x appartient à 9. Donc il faut que x appartienne à l'intervalle 3,9. Et en regardant, le 6 moins racine de 8 et 6 plus racine de 8 effectivement appartiennent bien tous les deux bons intervalles. Donc les solutions sont bien valables. Ce n'était pas le cas si les apparents n'appartenaient pas à 3,9. J'aurais dû les exclure. Dernier cas. Maintenant, on tombe sur une inéquation. Donc là, idem. Alors cette fois, je le fais dès le début. Je regarde pour quelle valeur de x l'inéquation est bien définie. Donc il faut que 3 moins x soit supérieur à 0. Que x plus 1 soit supérieur à 0. Et donc ça revient à dire que x est compris entre moins 1 et 3. Donc je résouds sur cet intervalle à quoi j'appelle i. Exclu évidemment, parce qu'il faut que ce soit strictement positif pour l'ln. Donc là j'ai un truc du type ln de a moins ln de b. Évidemment, j'utilise la propriété du ln. ln de a moins ln de b, ça fait ln de a sur b. Donc j'ai rassemblé tous les termes et j'ai qu'un seul ln. Je peux composer par ma fonction exponentielle. Donc je me retrouve avec 3 moins x sur x plus 1 qui est inférieur à 1. Là j'ai bien envie de multiplier par x plus 1 pour éviter d'avoir ce dénominateur. Je multiplie. Attention, dans le cas normal, j'aurais dû distinguer deux cas. Quand x plus 1 est supérieur à 0 et quand x plus 1 est inférieur à 0. Parce que ça change le sens de l'inégalité. Là il se trouve que x plus 1 est forcément supérieur à 0 pour que le ln soit défini. Donc je suis sûr de multiplier par quelque chose de positif. Ça ne change pas le sens de l'inégalité. Mais il faut bien le justifier quand vous le rédigez. Donc voilà, je me retrouve avec... J'isole les termes en x, ça me fait 3 moins 1 supérieur à 2x. Et donc que x est supérieur à 2. Donc finalement, moi je résolvais dans l'intervalle moins 1, 3. Il faut que x soit supérieur à 2. Quand je fais l'intersection de ces deux intervalles, ça me donne la solution 2, 3. Donc, moral de l'histoire, ne jamais oublier quand on résout des inéquations ou des équations avec l'exponential et le logarithme de bien regarder l'ensemble de définitions à la base. Ça peut être très important et exclure des solutions. Donc regardez bien ça. Et ensuite, petite remarque. Toujours penser aux signes quand on divise dans une égalité. En plus quand c'est une expression, quand on multiplie par quelque chose dont le signe n'est pas clair. Dans ce cas là, il faut distinguer deux cas. Si c'est positif, si c'est négatif. Ça me donne des conditions en plus. Pour résumer aussi, on essaie de rassembler au maximum tous les termes en ln ou en exponentiel. Ça dépend ce qu'il y a. Et une fois qu'il n'y a plus qu'une seule exponentielle ou qu'il n'y a plus qu'un seul ln, c'est là où on compose par la fonction réciproque. Donc il faut essayer de toujours aboutir à ça pour résoudre ces inéquations. S'il y a des choses qui ne sont pas claires pour vous, n'hésitez pas à aller dans la FAQ. Voilà pour ces méthodes sur les résolutions d'équations et d'inéquations avec le logarithme et l'exponentiel.

Simplifier des expressions

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Équations Inéquations