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Somme de VA Espérance Variance

Dans cette vidéo, nous abordons la notion de somme de variables aléatoires en profondeur. On nous présente l'exercice suivant : Elia effectue des tirs au jet de 7 mètres ; elle fait 30 tirs le matin et 50 l'après-midi. La probabilité qu'elle réussisse un tir est de 0,46 le matin et de 0,78 l'après-midi. Les tirs sont considérés indépendants. 

On nous demande tout d'abord de déterminer la loi de la variable aléatoire x (nombre de tirs réussis par Elia le matin) et de la variable aléatoire y (nombre de tirs réussis par Elia l'après-midi). On remarque que les variables x et y suivent une loi binomiale avec respectivement les paramètres 30, 0,46 pour x et 50, 0,78 pour y. 

La somme des variables aléatoires x et y représente le nombre de tirs réussis dans la journée. Enfin, on nous demande de calculer l'espérance de x plus y, qui correspond à l'espérance de x plus l'espérance de y en raison de la linéarité de l'espérance. On utilise la formule de l'espérance d'une variable aléatoire binomiale pour obtenir une espérance de 45. Cela signifie qu'Elia peut espérer réussir en moyenne 45 tirs dans la journée.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice qui est assez important à maîtriser si vous voulez bien comprendre en profondeur la notion de somme de variables aléatoires. Alors commençons tout de suite. Le jour où elle s'entraîne au jet de 7 mètres en deballe, Elia fait 30 tirs le matin et 50 l'après-midi. Elle marque avec une probabilité égale à 0,46 le matin et une probabilité égale à 0,78 l'après-midi. Tous les tiers sont supposés indépendants. Soit x, respectivement y, la variable aléatoire donnant le nombre de tirs réussis par Elia le matin respectivement l'après-midi. Et on nous demande dans un premier temps de donner la loi suivie par x et celle suivie par y, puis de nous dire ce que représente la somme de variables aléatoires x plus y, et enfin de calculer l'espérance de x plus y et de donner bien sûr une petite interprétation. Alors x représente le nombre de tirs réussis par Elia le matin. Et en fait ce qu'on remarque c'est qu'il s'agit d'une expérience de Bernoulli. En effet, on pourrait dire que le succès c'est réussir le tic, le tir, et que l'échec c'est de rater son tir. Et ce qu'on est en train de faire clairement c'est de sommer le nombre de succès, c'est-à-dire sommer le nombre de fois qu'Elia va réussir son tir. A partir de là on en déduit, puisque les tiers sont supposés indépendants, c'est dit dans l'énoncé, que x suit une loi binomiale de paramètre 30, 0,46. Avec 30 donc le nombre de tirs et 0,46 la probabilité de réussir le tir le matin. De même, y représente le nombre de tirs réussis par Elia mais cette fois-ci de l'après-midi. Et ici aussi on est en train de faire une somme d'expérience de Bernoulli indépendante. Et à ce moment-là y suit la loi binomiale de paramètre 50, 0,78. A partir de là, la question 2, x plus y ça représente le nombre de tirs réussis le matin plus le nombre de tirs réussis le soir. En fait, x plus y ça représente le nombre de tirs réussis au cours de toute la journée. Enfin, ce qu'on nous demande de faire c'est de calculer l'espérance de x plus y. L'espérance de x plus y c'est égal à l'espérance de x plus l'espérance de y par l'inéarrité de l'espérance et ça il faut bien l'avoir en tête. Et on sait que l'espérance d'une variable aléatoire binomiale c'est égal à n fois p avec n donc le nombre de tirs et p la probabilité de réussir le tir. Ici c'est pas 40 c'est 50 fois 0,78 et on trouve enfin que l'espérance de x est égale à 45. C'est-à-dire que dans la journée Elia peut espérer réussir 45 tirs.

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