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Fonctions (2) : classe Ck

Dans ce cours, nous apprenons comment appliquer la formule de Leibniz pour calculer les dérivées d'ordre supérieur. Nous prenons comme exemple une fonction produit composée d'un polynôme et d'une exponentielle. Tout d'abord, il est important de justifier que cette fonction est dérivable à l'ordre n. Ensuite, nous appliquons la formule de Leibniz qui dit que la dérivée d'ordre n est égale à la somme des combinaisons possibles entre les dérivées km du polynôme et les dérivées n-km de l'exponentielle. Il faut noter que les dérivées d'ordre supérieur du polynôme sont toutes nulles à partir de la dérivée troisième. Donc, il est plus simple de choisir de dériver n-km fois le polynôme. Finalement, nous simplifions l'expression en factorisant par e^-x et en effectuant les calculs. Il est important de repérer les cas où les dérivées d'une des fonctions deviennent nulles, car cela simplifiera grandement l'expression finale. C'est ainsi que nous maîtrisons et utilisons la formule de Leibniz pour calculer les dérivées d'ordre supérieur.

Salut tout le monde ! On va voir comment on applique la formule de Leibniz très simplement pour les calculs de dérivés enième. Evidemment pour tout ce qui est méthode de base comme celle-là, il faut absolument la maîtriser parfaitement. C'est parti ! Alors, énoncé très classique, on va calculer la dérivée enième d'une fonction produit ici. Donc cette fonction produit c'est f de x qui est égale à x carré plus x plus 1 fois e de moins x. Donc c'est un produit de deux fonctions. Un polynôme fois une exponentielle. Donc déjà, avant toute chose, ne pas foncer tête baissée. Il faut qu'on justifie bien que cette fonction est dérivable n fois. Toujours ne pas oublier, c'est un petit point qui peut être perdu dans la justification. Donc on a un polynôme, une exponentielle, évidemment elles sont toutes les deux c infinis, f l'épargne produit. On n'attend pas que vous en fassiez un pavé là-dessus, mais juste n'oubliez pas de le dire que f est bien c infini, donc dérivable à n'importe quel ordre. Ensuite, une fois que j'ai ça, j'applique évidemment ma formule de Leibniz. Je sais que la dérivée enième, c'est la somme des cas parmi n fois la dérivée km de g fois la dérivée n moins km de h. Là, il ne faut pas louper l'astuce, c'est que g étant un polynôme de degrés 2, à partir de sa dérivée troisième, ça va faire 0. C'est là où c'est quand même mieux, par communauté, de bien dériver, parce que dans ma formule de Leibniz, je peux choisir de dériver soit h, de dire que c'est h dérivé km fois g dérivé n moins k fois. Évidemment, c'est une formule symétrique, donc je peux le faire dans les deux sens. En revanche, comme c'est g qui va être rapidement nul, c'est beaucoup mieux de dire je dérive k fois g. Ça va être plus simple pour les calculs, même si ça marche dans l'autre sens. Il faudra se dire qu'il faut que n moins k soit inférieur à 2. Bref, c'est plus compliqué. Finalement, j'ai que trois termes. J'ai 0 parmi n fois g fois la dérivée n ième de h fois plus g prime fois la dérivée h n moins unième, et la dérivée seconde fois la dérivée n moins 2. Ce que je disais, c'est que la dérivée km est nulle pour g dès qu'on dépasse 3, 3 inclus, et la dérivée km ou ième de h est très simple vu que c'est exponentielle de moins x. Il y a juste un moins un puissance i qu'il ne faut pas oublier pour la dérivée ième. J'applique ça. C'est juste du calcul. Je factorise tout par e de moins x, évidemment par simplicité. Je me retrouve avec le moins un puissance n qui est la dérivée n ième de h fois g fois la dérivée 1 parmi n qui vaut n, la dérivée première de g fois moins 1 puissance n plus 1 qui vient de la dérivée n moins unième de h, et enfin le n n moins 1 sur 2 qui est le 2 parmi n fois la dérivée seconde de g 2 et moins 1 puissance n moins 2. Bref, on en est là. Je factorise par moins 1 puissance n. Je simplifie, je simplifie. C'est que du calcul. Et voici la dérivée n ième de h. C'est juste ça qu'il faut savoir maîtriser. Bien repérer quand est-ce que, souvent quand on vous demande ça, soit la somme est simple à exprimer, soit à partir d'un certain rang, la dérivée k ième d'une certaine des deux fonctions est nulle. Donc ça simplifie énormément l'expression. Voilà pour cette méthode sur l'utilisation de la formule de Leibniz.

Dérivée n-ième

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