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Fonctions (2) : classe Ck

Le cours porte sur les dérivés et explique la définition formelle de la dérivée comme étant la limite du taux d'accroissement. On applique cette définition à une méthode de base pour calculer la dérivée. Ensuite, on se demande si une limite parfaitement définie implique nécessairement la dérivabilité de la fonction. On utilise une astuce de décomposition du taux d'accroissement pour montrer que la réciproque est fausse. On prend l'exemple de la valeur absolue qui n'est pas dérivable en 0, malgré une limite parfaitement définie qui vaut 0. Ainsi, on montre comment utiliser la définition formelle de la dérivée.

Salut à tous, on est sur le chapitre des dérivés. Vous n'allez pas pouvoir échapper à la définition formelle de la dérivée. Vous en êtes servi probablement un petit peu en terminale. En sub, vous allez vous en servir beaucoup. Il faut savoir revenir à la définition formelle et ne jamais oublier ce que c'est formellement la dérivée, c'est à dire la limite du taux d'accroissement. Donc là on va le mettre en application sur une méthode de base. L'énoncé nous propose de calculer la dérivée. On a une fonction qui est dérivable dans un certain point x0 et on aimerait montrer que f' de x0, qui est donc bien défini puisqu'il est dérivable, est égale à la limite de f de x0 plus h, donc f de x0 moins h sur 2h. Ce qu'on veut ensuite démontrer c'est est-ce que si on a une limite qui est parfaitement définie comme ça, est-ce que ça veut dire nécessairement que f est dérivable en x0 ? L'astuce est de décomposer le taux d'accroissement. Nous on sait que la définition formelle de la limite c'est f de x0 plus h moins f de x0. Je vais l'introduire, je vais dire finalement pour passer de x0 plus h à x0 moins h, je vais passer par x0. Je fais une bête décomposition, je dis que j'introduis le f de x0 qui est à la fois là et qui disparaît ici, mais j'applique deux fois la définition formelle. Je veux faire apparaître, donc là j'ai f de x0 plus h moins f de x0 sur h, donc ça c'est la définition classique, et là je fais apparaître f de x0 moins h moins f de x0 sur moins h. C'est aussi la définition formelle de la limite puisque h quand il va tendre vers 0, ça fonctionne. Je suis bien dans le cadre de la définition, même si j'ai mis un moins, peu importe, le h peut être positif ou négatif, donc je pourrais poser h prime également à h, ça fonctionne très bien. Ce qu'il faut bien vérifier, c'est que là j'ai du moins un demi h de f de x0, et ici avec le moins moins, j'ai du plus un demi h de f de x0, donc les deux se suppriment, j'ai bien l'expression initiale. Parce que la fonction est dérivable, ça tend bien vers f prime de x0, ce terme là tend bien aussi vers f prime de x0, et donc à cause du facteur un demi, j'ai bien que la somme des deux tend vers f prime de x0. Evidemment, maintenant on vous pose la question, si on vous pose la question c'est qu'a priori ça risque d'être faux. Évidemment c'est faux. Pour montrer en maths que c'est faux, il faut trouver un contre-exemple. Le meilleur contre-exemple de ça, c'est la valeur absolue. Pourquoi ? Parce que la valeur absolue, comme vous le savez, elle est de cette forme, et donc si je fais, et je regarde en 0, c'est en 0 qu'elle n'est pas dérivable, donc je sais qu'elle n'est pas dérivable en 0, et quand je fais f de h moins f de moins h, comme en fait les deux valeurs sont égales par parité, ça fait rigoureusement 0 pour tout h, donc quand on fait tendre la limite, quand h tend vers 0, ça tend aussi vers 0, donc on a bien une limite qui est parfaitement définie, une limite qui vaut 0, or f n'est pas dérivable. Donc attention, la réciproque est fausse. Voilà un exemple de comment on peut utiliser la définition formelle de la dérivée.

Utiliser la définition formelle de limite

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