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Fonctions (2) : classe Ck

Ce cours traite des tangentes et de l'utilisation de la dérivée. L'exercice présenté concerne deux courbes, y égal x carré et y égal 1 sur x, et l'objectif est de montrer qu'elles ont une tangente commune. Il est important de noter que tangente commune ne signifie pas qu'elles sont tangentes au même point, mais plutôt qu'elles partagent une droite commune, avec le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine. Pour cela, il est nécessaire d'obtenir l'expression générale des tangentes pour chacune des courbes. En utilisant la dérivée, on obtient les équations des tangentes. En résolvant les équations, on trouve qu'il y a une seule tangente commune avec une abscisse de -2 et une ordonnée de -1,5. L'équation de cette droite est y égal moins 4x moins 4. Ce cours met en évidence l'importance de bien comprendre et maîtriser les notions de tangentes et de dérivées.

Salut à tous ! Petit point sur les tangentes qui évidemment utilisent la dérivée. Alors là on va faire un petit exercice à cheval entre terminal et sub parce qu'en fait vous aviez les moyens de faire cet exercice en terminal. N'empêche il faut bien le faire et bien être rigoureux parce que j'ai souvent vu des élèves qui font des erreurs de raisonnement. Donc c'est parti pour la tangente commune. Alors on a deux courbes d'équation y égale x carré et y égale 1 sur x et on veut montrer qu'elles ont une tangente commune. Donc attention, tangente commune ne veut pas dire, et c'est là l'erreur, qu'elles sont tangentes au même point. C'est juste qu'elles vont avoir des points de tangences différents mais ça sera la même droite. Donc qui dit même droite dit même coefficient directeur et même ordonnée à l'origine. Pour faire ça il faut qu'on regarde c'est quoi l'expression générale des tangentes pour chacune des courbes. Donc je vais prendre un réel A quelconque, je vais regarder la tangente en A, c'est quoi l'expression de l'équation de la tangente au point d'abscisse A et donc d'ordonnée A carré. Et donc j'applique évidemment la formule f prime de A fois x moins A plus f de A et donc ça me donne cette expression là que je peux simplifier, je la mets sous la forme mx plus B, coefficient directeur que je vois là et ordonnée à l'origine. Idem pour la deuxième équation, j'applique exactement la même formule, donc la dérivée en B c'est moins 1 sur B carré, f de B ça vaut 1 sur B et donc je me retrouve avec une petite erreur, évidemment ici c'est pas du tout 1 sur x carré, c'est moins 1 sur B carré x, donc ça c'est bon, et donc je vais regarder tangente commune, donc la tangente commune il faut qu'elle ait les mêmes coefficients directeurs et le même ordonnée à l'origine, donc ça me fait une équation A, A, 2 inconnues et donc je dois avoir 2A qui doit être égale à moins 1 sur B carré et moins 1 carré qui vaut 2 sur B, donc là vous résolvez un peu comme vous voulez, moi ce que j'ai fait c'est fait par substitution, je trouve que B est égale à moins 2 sur A carré, je remplace et ça me fait, attention à ne pas se tromper, donc moins 8A est égale à 4, ça fait que A est égale à 0 ou A est égale à moins 2, le A est égal à 0 malheureusement ne fonctionne pas parce que j'ai une division par 0, donc je suis obligé de l'exclure, et donc je me retrouve avec forcément B est égale à moins 2 sur A carré, donc la seule solution possible en fait c'est qu'il y a une seule tangente commune en A est égale à moins 2 et en B est égale à moins 1,5, et donc là je fais le calcul de l'équation de la droite et je me retrouve avec la tangente commune qui est l'équation Y égale moins 4X moins 4. Voilà pour ce petit exercice sur les tangentes communes en utilisant la dérivée, donc comme je vous le disais c'est franchement faisable en terminale, mais voilà à ne pas, à savoir maîtriser parfaitement comme d'habitude. Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Tangente commune

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