Home

2BAC SM Maroc

Maths SM&SP

Analyse

Récurrence

Dans cette vidéo, le professeur explique le principe de la récurrence en mathématiques. Il rappelle que pour démontrer une propriété par récurrence, il faut montrer qu'elle est vraie pour un entier donné, puis que si elle est vraie pour cet entier, elle est également vraie pour l'entier suivant. En utilisant cette "pichenette initiale" et cette transmission, on peut prouver que la propriété est vraie pour tous les entiers.

Le professeur insiste sur l'importance de la rédaction dans la démonstration par récurrence. Il souligne qu'il faut toujours conclure la démonstration en affirmant que la propriété est vraie pour tout entier. Si cette conclusion n'est pas incluse, il est possible de perdre des points. Il recommande ainsi de donner une vision d'ensemble de la démonstration après avoir montré l'initialisation et la transmission de la propriété.

Le professeur mentionne également que dans environ 10% des exercices, la démonstration par récurrence commence avec un entier différent de zéro, ce qui peut dérouter les étudiants. Il donne l'exemple d'une suite récurrente où il faut prouver la propriété pour tout entier supérieur à 2, au lieu de 0.

Enfin, le professeur rappelle aux étudiants de se référer aux consignes spécifiques de leur professeur concernant la rédaction de la démonstration par récurrence, afin d'obtenir de bons résultats. Il invite également les étudiants à poser leurs questions dans la FAQ du cours pour obtenir des éclaircissements supplémentaires.

Pour cette première vidéo de cours sur la récurrence, j'ai envie d'insister un petit peu sur la rédaction, l'importance de l'initialisation et les erreurs à ne pas faire. Donc on va commencer le rappel de concept, on démontre une propriété par récurrence en montrant d'abord qu'elle est vraie pour un entier et deuxième propriété que si elle est vraie quelque part alors elle est vraie juste après. Si elle est vraie pour 7, elle est vraie pour 8. Si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n plus 1. La combinaison de cette pichenette initiale et de cette transmission nous donne une vérité de la propriété pour tous les entiers. C'est un peu ce que j'ai mis ici avec cet exemple de domino encore. Le principe général, donc traduit en mathématiques, c'est quand on a une propriété qu'on appelle P comme propriété de n, si on sait qu'elle est vraie quelque part dans 90% des exos, c'est ça que je dis ici, dans 90% des exos ce sera le cas, si elle est vraie pour n égale 0 et qu'ensuite on a la propriété de transmission qui est la propriété numéro 2 ici, propriété numéro 2 c'est à dire si c'est vrai en n c'est vrai en n plus 1, alors pour tout entier P de n sera vraie. Alors ça c'est incroyable, c'est une des sources de perte de points les plus absolues que je vois tout le temps avec mes élèves. Il faut conclure, il faut cette phrase, alors je l'ai mis en rose là, il faut absolument que vous le mettiez. Si vous ne mettez pas cette phrase de conclusion, le prof, alors selon son degré de sévérité, soit il vous mettra des points de pitié parce que vous avez bien fait le tout, il se dit quand même ils ont tout fait, l'effort j'ai pas tout enlevé, soit il est juste très très très strict, il dit il n'y a pas de conclusion, ça vaut rien, il vous met 0 à l'exo. Ça fout les glandes, honnêtement. Donc essayez de faire gaffe, le principe c'est une fois que vous avez démontré l'hérédité, le fait que si on a P de n, ça implique P de n plus 1, il faut donner un peu une vision d'ensemble, dire ok j'ai montré la petite flamèche, la petite pigeonnette initiale, j'ai montré la transmission, concluons, donc c'est vrai pour tout entier. On l'attend, c'est important, si vous ne le mettez pas vous perdez les points, donc c'est comme ça. Dans cette vidéo je voulais vous montrer surtout le fait que dans 10% des exos, donc attendez on ne voit pas mon petit 10% là, dans 10% des exos, à peu près, mais après c'est des chiffres que je fais comme ça, c'est dans mon expérience peut-être que c'est 12% des exercices mais dans 10% des exos, vous aurez exactement le même process, sauf que ça commence par n0, c'est à dire que vous aurez la propriété qui sera vraie par exemple pour 3 ou 4 ou 5 et non pas en 0, et ça, il ne faut pas que ça vous fasse déjanter genre je ne sais plus quoi faire, c'est en fait le même principe. Je vous fais un exemple juste pour que, pour voir un exemple assez simple, imaginez on vous donne une suite un, donc n plus grand régal à 2, le premier truc qu'il faut remarquer c'est ça, la définition même de la suite ne commence pas à 0, ça a l'air louche mais pourquoi pas. La définition de un n'est pas explicite, on me donne un premier terme puis une relation entre un plus un et un, on appelle ça une définition récurrente, donc vous voyez pourquoi ce mot, dans ta démonstration par récurrence, définition d'une suite de manière récurrente, ce mot est le même parce qu'en fait il y a l'idée de transmission d'un rang à l'autre, c'est pour ça qu'on retrouve un peu le même champ lexical. Donc ça c'est un truc qu'on a vu en première, on vous dit quel que soit n plus grand égal à 3, donc pour 2 on a ça et pour 3 et plus on a ça, un plus un égal le terme d'avant plus 1 sur n moins 2, alors ça ressemble vachement à une suite arithmétique, c'est à dire le terme d'avant plus quelque chose, ça serait une suite arithmétique si on avait quelque chose de constant, ici c'est pas constant ça dépend de n, donc bon c'est une suite bizarre, il va falloir qu'on voit ce qu'on peut faire. Je vous ai rajouté la petite erreur type, donc on nous demande dans l'exo montrer que, quel que soit n plus grand égal à 2, un plus grand égal à 1, j'ai pas appris la question du siècle, on va essayer de faire ça vite fait mais c'est pour vous montrer la rédaction qu'on attend de vous. La magie du montage, je l'ai écrite à l'avance, on va avoir plusieurs étapes. On écrit soit n plus grand égal à 2, on définit la propriété P2n, P2n c'est U2n plus grand égal à 1, très bien. Première étape, on fait l'initialisation, on écrit pour n égal 2, moi j'ai une définition qui m'a donné U2, U2 égal à 1, c'est plus grand égal à 1, c'est bon j'ai mon initialisation. Encore une fois, vérifiez bien que la rédaction suit ce que votre prof veut. Moi je vous fais une rédaction rapide qui prend les étapes, une par une, je mets tout ce qu'il faut de minimal pour que ce soit juste mais adaptez-vous. S'il vous dit il faut ce vocabulaire, ce mot-là, sinon c'est zéro, suivez-le, ne rentrez pas dans une révolution, ça ne sert à rien. Vous voulez une bonne note, un bon dossier, encore une fois, ne suivez que ce que dit le prof. Voilà, je vous fais juste un exemple rapide. Donc hérédité ensuite, pour n plus grand égal à 3, on a déjà n égal 2 ici, montrons que si Pn est vrai, si Pn est vrai, alors Pn plus 1 est vrai. On a par hypothèse de récurrence, alors HR encore une fois, c'est moi qui l'utilise comme petit petit raccourci, si le prof ne le fait pas, attention, il faut toujours s'adapter. Un plus grand égal à 1, par définition, donc par hypothèse de récurrence j'ai ça, par définition je sais qu'un plus 1 c'est un plus 1 sur n-2, et donc qu'est-ce que j'ai ? Un plus grand égal à 1, je remplace ici, le tout est plus grand que 1 plus 1 sur n-2, le tout est donc plus grand que 1, bon parce que 1 sur n-2, ça c'est plus grand que zéro. Donc Pn plus 1 est vrai. Et là on pourrait s'arrêter là et dire c'est bon, c'est fini, mais non. Petite étape numéro 3, la conclusion en rose, c'est moi qui ai mis du rose dans cette vidéo. On a donc démontré que pour n plus grand égal à 2, Pn est vrai. C'est tout. Si vous n'êtes pas sûr de quelque chose que j'ai fait, un exemple qui n'était pas très clair, vous voulez une clarté supplémentaire sur un élément, n'hésitez pas à aller dans la FAQ, taper votre petit message, voir déjà s'il n'y a pas quelqu'un qui a posé la question, si quelqu'un n'y a pas déjà répondu, et oui on reviendra vers vous, comme d'hab, s'il y a une question qui est vachement vachement demandée, je ferai même une petite vidéo pour vous répondre. A la prochaine !

Concept et rédaction

RELATED

Recommended videos

Introduction à la récurrence

Pourquoi l'initialisation ?