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Théorèmes de Convergence

Le théorème de comparaison en mathématiques est un outil puissant qui permet d'économiser beaucoup d'efforts lors des démonstrations. Il consiste à comparer une suite complexe Vn à une suite plus simple Un, et si Un tend vers l'infini, alors Vn tendra également vers l'infini. Cela permet d'éviter de devoir manipuler des expressions compliquées et de résoudre des problèmes complexes. Par exemple, si on a la suite Vn définie comme l'exponentielle de la racine de n² plus 1, qui est difficile à gérer, on peut trouver une suite Un plus simple, comme la suite racine de n², et comparer les deux. En utilisant le fait que l'exponentielle est une fonction croissante, on peut conclure que Vn sera plus grand que Un, et donc Vn tendra vers l'infini. Ainsi, on évite de devoir étudier en détail la suite Vn et de faire de nombreuses manipulations complexes. C'est la beauté du théorème de comparaison en mathématiques.

Le théorème de comparaison est un théorème très puissant et surtout qui va vous faire faire beaucoup beaucoup d'économies d'efforts. En gros, grâce à lui, vous allez pouvoir éviter beaucoup de démonstrations qui impliquent toujours des petits epsilon, des grands A et tous les trucs que vous n'aimez pas trop. L'idée de ce théorème, c'est que si vous avez une suite Vn, aussi moche soit-elle, mais vous savez la comparer à une suite beaucoup plus simple, si elle a le bon comportement, alors vous serez capable de conclure. J'explique. Donc si on a Vn qui est plus grande que Un, quelle que soit la forme de Vn, si je sais que Un elle-même tend vers plus infini, qu'elle s'en va vers l'infini, alors je peux conclure qu'elle va tirer avec elle la suite Vn. En effet, si vous avez U1 qui est plus petit que V1, U2 qui est plus petit que V2, U3 qui est plus petit que V3, elles vont tous les deux partir ensemble. Pourquoi c'est pratique ? C'est que des fois, en fait, Vn va être vraiment d'une forme qui est ingérable. Ça va être un truc pas beau, vous n'allez pas savoir comment l'écrire, vous n'allez pas savoir comment résoudre le problème. Ça peut être un truc du genre, je sais pas, un exemple qui me vient comme ça, Vn faut être égal à l'exponentiel de la racine de n² plus 1. Voilà, un truc comme ça. Ce truc-là, on vous dit de le gérer, de démontrer qu'il tend vers plus infini ou je sais pas quoi. Vous allez sentir que c'est une exponentielle et que ça monte fort. Vous savez pas comment dire. C'est là qu'intervient le terrain de comparaison. L'idée ça va être de dire, si je peux trouver une suite telle que Vn est plus grande que Un et Un elle-même est simple, alors tout sera bon. Je finis avec cet exemple-là. Si je prends, par exemple, moi je sais que racine de n² plus 1, par exemple, est plus grand strict, en l'occurrence, que racine de n² qui est égale à n. Je peux conclure, vu que l'exponentielle est une fonction croissante, en disant exponentielle de racine de n² plus 1 va être plus grand strict que exponentielle de n. Or, ça c'est le bonheur. Exponentielle de n c'est quoi ? C'est E puissance n. Donc c'est une suite géométrique. Une suite géométrique de raison plus grande que 1. Je sais que ça va diverger, ça va partir un plus infini. L'idée du théorème de comparaison, ensuite, c'est de dire ça, je sais que ça tend vers plus infini. Donc elle entraîne, dans cette divergence, l'autre qui, en l'occurrence, est moche. Mais pas une seconde j'ai été étudier ce truc-là de plus près. J'ai pas dû étudier, j'ai pas dû faire de grands tas de petites epsilonieries. C'est la beauté du théorème et dans la prochaine vidéo on va le démontrer ensemble.

Théorème de comparaison - illustration

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