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Analyse

Applications avancées des suites

Le sujet de ce cours est le nombre d'or, un nombre mathématique bien connu. La suite étudiée est définie de manière explicite, mais avec quelques points manquants. On cherchera le comportement de cette suite et on vérifiera si elle converge vers le nombre d'or. On démontrera également que la suite est croissante et on étudiera sa vitesse de convergence. On montrera que la suite converge vers le nombre d'or de manière très rapide, avec une vitesse de convergence du type 1 sur 2 puissance n. On conclura en soulignant l'importance de la vitesse de convergence lors des comparaisons et des équivalents.

Salut à tous, on va faire une méthode un peu sympathique cette fois, sur laquelle on va aborder le sujet du nombre d'or, donc un nombre qui est très connu en maths. Or là, ce type de suite, c'est vraiment un type de suite particulier, qui est défini de façon explicite, mais dont on a en fait des trois petits points. Là dans ce cas là, ça va être racine de racine de racine, donc vous allez voir que c'est un peu particulier, et en plus voilà, petite cerise sur le gâteau, on va parler du nombre d'or. Allez c'est parti ! Petite analyse rapide, comme d'habitude sur les méthodes un peu plus complexes. On nous dit que le nombre d'or, c'est la solution positive de cette équation, qu'on va appeler Φ, et que Φ vérifie cette égalité là. D'abord, on va devoir justifier sans calculatrice que Φ est compris entre 1 et 2. Là vraiment, ça nous fait penser au Thévie, donc on va voir. Et ensuite, la fameuse suite définie de façon explicite, mais avec des trois petits points, avec n radicaux, et donc on va essayer de trouver le comportement de cette suite. Donc d'abord, on va montrer qu'elle est croissante. Ça, vous savez faire, on va faire l'étude de Un plus ou moins Un. On va démontrer que Un converge vers Φ, donc on va essayer de trouver un point fixe, puisque Un plus 1 est de la forme f de Un, ce qu'on va voir tout à l'heure, où f de Un c'est racine de 1 plus Un. Donc on va trouver un point fixe, et on sait que si elle converge, elle converge vers un point fixe. Ensuite, toutes les questions 5 et 6, ça va nous indiquer, ce qui est assez important en maths, la vitesse de convergence. Est-ce que ça converge vite vers ce nombre Φ, ou pas du tout ? A quelle vitesse ? Et là, vraisemblablement, on voit que ça converge très très vite, puisque c'est plus petit que la différence entre les deux, que 1 sur 2 puissance n moins 1, donc ça converge extrêmement vite. C'est parti, dans l'ordre. Si on reprend les questions, on va étudier l'équation x²-x-1. Là, on cherche des racines de cette équation. Assez rapidement, je fais f de 1 égale moins 1, f de 2 égale 2, c'est bien une fonction continue, car c'est un polynôme, donc j'ai bien une racine comprise entre 1 et 2, pas de problème. Comme l'énoncé nous dit que Φ est la racine positive de l'équation, ça ne sert à rien d'en chercher une autre, je sais que c'est la seule, a priori, donc Φ appartient bien à 1, 2. Ensuite, on nous demande d'exprimer, pour toute Un supérieur ou égale à 1, Un plus 1 en fonction de Un. En fait, vu l'énoncé, on se rend compte que Un plus 1, ça vaut racine de 1 plus Un. Et donc, à partir de là, on aimerait montrer que Un est compris entre 1 et Φ. Tout ça, évidemment, ça va être par récurrence, donc U0, ça vaut 1, donc évidemment, ça marche, sachant que Φ est compris entre 1 et 2. Et ensuite, l'hérédité, comme d'habitude, j'écris ce que je sais, ce que je veux montrer, et le lien entre l'un et l'autre, évidemment, c'est la relation de récurrence avec Un plus 1 égale racine de 1 plus Un. Tout ça, ça va être lié à la fonction racine, donc je pars du premier encadrement, j'essaye de trouver racine de Un plus 1. En réalité, si je rajoute 1 à chaque fois, d'ailleurs, j'ai fait une petite erreur, j'ai mis directement la racine, alors qu'elle n'y est pas, on va l'enlever. Donc j'ai 2 qui est plus petit que Un plus 1, qui est plus petit que Φ plus 1, ensuite je passe à la racine, donc sur croissante sur R+, et évidemment, tout l'intérêt, c'est que je sais que la racine de Φ plus 1 est égale. Donc en fait, je me retrouve avec l'encadrement 1 plus petit que Un plus 1 plus Φ. Donc je l'ai bien démontré par récurrence, ça fonctionne, pas de problème. Ensuite, on nous demande de montrer que la suite, elle est croissante. Pour ça, je vais faire la différence, Un plus 1 moins Un, ça fait racine de 1 plus Un moins Un. Plutôt que comparer les racines, ça m'embête un peu, on va plutôt comparer les carrés. Est-ce que j'ai envie de comparer ça au carré et ça au carré ? Un plus un carré, ça fait 1 plus Un. Et donc, si je fais Un plus un carré moins Un, on se retrouve avec 1 plus Un moins Un carré, et on se rend compte que c'est f de Un, moins f de Un, Or, on sait que Un est compris entre 1 et Φ, donc je compose par f, et je sais que comme ma fonction est croissante, j'ai f de 1 qui est plus petit que f de Un, qui est plus petit que f de Φ, égale à 0. Avec f qui n'est pas posée, c'est sa f1 bien sûr. J'appelle ça f de x, cette fonction-là. Effectivement, on pourrait faire l'étude rapide, on montre qu'elle est croissante, on a trouvé sa racine, et le minimum, on pourrait faire l'étude, mais bon. Donc f est croissante, et je me retrouve avec f de Un qui est compris entre moins 1 et 0. Ça veut dire quoi ? Ça veut dire que f de Un est négatif, c'est ça qui est important pour moi. Et donc, j'en ai du quoi ? Comme c'est négatif, j'ai Un plus un au carré moins Un au carré, qui est super à 0, donc j'ai bien Un plus un au carré qui est plus grand qu'Un carré, donc Un plus un plus grand qu'Un, et j'ai bien Un qui est croissante. Évidemment, on utilise le fait qu'elle est positive, vu son expression, pour passer de là à là. Ensuite, j'ai une fonction qui est croissante et qui est majorée, donc je sais qu'elle va forcément converger vers une limite L. Elle est croissante, elle est majorée par phi, bien sûr, et donc je sais qu'elle va converger vers une limite L, qui en l'occurrence va être phi, mais ça je ne sais pas encore. Et là, je passe à la limite. Si Un plus un est égale à la racine de Un plus Un, c'est-à-dire que L est solution, Un plus un oscille envers L, donc c'est-à-dire que L est solution de L égale à la racine de Un plus L. Je passe au carré, et là, évidemment, je me retrouve avec l'équation de tout à l'heure, donc j'en déduis que nécessairement L égale à phi. C'est ce qu'on appelle évidemment le fameux point fixe, G de L, où G était la fonction pour passer de Un à Un plus Un. Donc là, on a notre point fixe, si elle converge, la suite converge forcément vers ce point fixe. Maintenant, on va s'intéresser à est-ce que ça converge vite ou pas. Pour ça, on nous demande de trouver un petit encadrement. On va encadrer Un plus Un moins phi. C'est là où j'utilise que phi est égale à racine de Un plus phi. Un plus Un, je le remplace par une expression, et là, j'ai une différence de deux racines. Évidemment, j'ai envie de faire la quantité conjuguée, donc je fais la quantité conjuguée. Ça tombe bien, ça se simplifie un peu. J'en retrouve avec Un moins phi sur racine de Un plus Un plus racine de Un plus phi. Alors moi, j'aimerais montrer, là j'ai bien mon Un moins phi là-haut, ça je suis content. Moi, ce que j'aimerais montrer maintenant, c'est que ça, c'est supérieur à deux, pour que je puisse conclure cette inégalité-là. Donc, racine de Un plus Un, évidemment, c'est plus grand que Un, puisque Un est positif. Racine de Un plus phi, c'est égal à Un, et on a démontré que c'était supérieur à Un plus Un qui vaut deux. Je passe aux valeurs absolues, et je démontre bien l'inégalité voulue. Là, on voit bien, on a une inégalité géométrique, donc on voit que la vitesse de convergence va être très rapide. Donc là, simplement pour conclure, je vais faire par récurrence. Pour l'initialisation, évidemment ça marche, j'ai bien Un moins phi qui est inférieur à Un. Et ensuite, la récurrence est immédiate, l'hérédité, je suppose que cette inégalité est vraie. J'utilise la relation qu'on a montrée juste au-dessus, et du coup Un plus Un moins phi va être plus petit que 1,5 de Un moins phi, et donc plus petit que 1 sur 2 puissance n. Donc, on a bien montré la vitesse de convergence, et on voit que ça converge extrêmement vite. Par exemple, si je m'arrête au dixième terme, 2 puissance 10, c'est un peu plus de 1000, c'est 1024, donc ça fait un millième. 2 puissance 20, ça fera plus de un million, donc au bout de 20 termes, on est à un millième près de phi, donc c'est une vitesse extrêmement rapide. Surtout quand vous allez faire plus tard les comparaisons, les équivalents, c'est une question qu'on va souvent se poser. Est-ce que ça converge vers la limite, vite ou pas ? Et en fait, on va s'intéresser à ça converge vers ce truc-là, à quelle vitesse ? Est-ce que ça converge en 1 sur n, en 1 sur n² ? Là, on a vu, c'est du type 1 sur 2 puissance n, donc ça converge très très vite. Vous allez voir ça de plus en plus souvent. Voilà pour cette méthode !

Nombre d'or

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