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Applications avancées des suites

Le cours concerne les suites implicites, qui sont un peu plus compliquées que les suites explicites. La différence majeure est qu'au lieu d'avoir une relation de récurrence ou une expression explicite en fonction de n, on a une équation qui vérifie la suite. On étudie la suite en analysant son sens de croissance et sa convergence. L'exemple du cours concerne un polynôme Pn de x, qui est la somme des puissances de x jusqu'à x-1, avec un terme de -1. On doit montrer que Pn a une seule racine dans R+, notée Un, et que la suite Un est décroissante et donc converge. On utilise le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour montrer que Pn a une seule racine dans R+. On utilise également une inégalité entre les polynômes Pn et Pn+1 pour montrer que la suite Un est décroissante. On évalue Pn en 1/2 pour montrer que Un est supérieur ou égal à 1/2. Ensuite, on utilise une autre expression de Pn, une suite géométrique, pour montrer que la limite de Pn en Rho (un réel entre 1/2 et 1) est strictement positive. Enfin, on utilise cette information pour montrer que la suite Un tend vers 1/2 en utilisant la définition formelle de la limite.

Salut à tous, on va parler d'un dernier cas de suite, cette fois surtout les suites implicites. Les suites implicites sont un peu plus compliquées que les suites explicites. La grosse différence c'est qu'on ne va pas avoir de relation de récurrence, on ne va pas avoir d'expression explicite en fonction de n, mais une expression implicite, c'est-à-dire une équation qui va vérifier la suite. On ne saura pas exactement ce que veut la suite, mais on sait ce qu'elle vérifie. Comme d'habitude, on va essayer de l'étudier, son sens de croissance, est-ce qu'elle converge, etc. Vous allez voir ça tout de suite, c'est parti pour les suites implicites. Alors, qu'est-ce que nous dit l'énoncé ? On travaille sur un polynôme Pn de x, qui est la somme des x puissance n, x-1, etc. jusqu'à x, et on n'oublie pas le moins 1, qui va être très important ici. On nous demande de montrer que Pn possède une seule racine dans R+, qu'on va noter Un. Une seule racine, évidemment, il faut penser absolument au TVI, on va l'appliquer, ça va marcher sans problème. Ensuite, démontrer que la suite Un est décroissante, et déduire qu'elle converge. Là, la différence, c'est qu'on a une expression implicite. Tout ce qu'on peut écrire, c'est l'équation qui vérifie Un+, l'équation qui vérifie Un, et on va essayer de trouver un lien entre les deux, pour pouvoir les comparer. Et à partir de la question 3, ça va être des questions pour trouver cette limite. On va utiliser la croissance de Pn, puisque ce qu'on sait finalement, c'est pas bien ranger Un, l'encadrer, par contre on sait très bien encadrer Pn de Un. Donc à chaque fois, on va essayer plutôt de passer par Pn. Ce ne sont que des mots, mais on va essayer de garder cette ligne de conduite, et vous allez voir que ça marche plutôt bien. D'abord, première question. Bon, je l'ai dit, c'est TVI, facile. Pn, c'est une fonction polynomiale d'ombre continue. Si je calcule la valeur en 0, ça fait moins 1. Pn de x quand x est vers l'infini, ça fait plus infini. Et nous, on cherche une racine, donc on cherche quand Pn vaut 0. Par ailleurs, Pn est strictement croissante. Pas besoin de calculer la dérivée, on peut remarquer juste que c'est une somme de fonctions croissantes. Genre, moins 1 est une fonction constante, donc pas de problème. On pourrait faire la dérivée aussi, mais on a directement qu'elle est croissante. 0, évidemment, la valeur dont on cherche l'antécédent, elle est comprise entre moins 1 et plus infini, donc je peux appliquer le TVI pour les fonctions strictement monotones, et j'ai envie d'utiliser une unique racine dans R+, parce qu'attention, là on travaille dans R+, telle que P de Un égale à 0. Alors, évidemment, il peut y avoir des racines dans R-, mais là, ça ne m'intéresse pas. Mais effectivement, il pourrait y en avoir. Ensuite, question 2, on veut montrer que la suite Un est décroissante. Comme je l'ai dit tout à l'heure, j'ai peu d'infos sur Un. Je vais juste écrire que Pn de Un vaut 0, Pn plus 1 de Un plus 1 vaut 0, c'est la définition de ce qu'est Un plus 1, et là, je vais essayer de panacher un peu les deux. Regardons, c'est quoi la différence entre Pn plus 1 et Pn ? En fait, Pn plus 1, c'est le même polynôme auquel je rajoute un terme, qui est X puissance N plus 1. Donc finalement, Pn plus 1 de Un, c'est Pn de Un, plus ce fameux terme en X puissance N plus 1, sauf que là, le X, il vaut Un, j'évalue le polynôme en Un, et ça me fait donc Un à la puissance N plus 1. Ça tombe bien si ça vaut 0. Ce terme-là, lui, il est positif ou nul, puisque Un est positif. Et donc, ce que je sais, c'est que Pn plus 1 de Un est supérieur à 0, Pn plus 1 de Un plus 1 égale à 0, et donc là, je vais utiliser la croissance de la fonction Pn plus 1, et donc je sais que les images sont rangées dans le même sens que les antécédents. Donc je vais en conclure que Un est supérieur à Un plus 1, et donc que ma suite Un est décroissante. Par ailleurs, on a dit qu'elle est minorée par 0, donc évidemment, elle est positive, donc minorée par 0. J'en conclue qu'elle est convergente. Ensuite, on va essayer de trouver un peu plus cette limite. Il y a une petite astuce pour montrer que Un est supérieur à 1 demi. La petite astuce, c'est d'utiliser une nouvelle expression de Pn de X. Alors ça, c'est sûr, il faut y penser, c'est pas évident. Je remarque que Pn de X, c'est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, de raison X, en fait. Parce que c'est X plus X carré plus X sub à chaque fois que je multiplie par X. Donc j'utilise la formule, et il y a également un à la fin que je traite à part. Donc, premier terme fois 1-Q puissance nombre de termes sur 1-Q. Je mets tout ça au même dénominateur, et je me rends compte que ça fait cette jolie expression sans somme. Donc, c'est 2X-1 moins X puissance N plus 1 sur 1-X. Et là, j'ai plus qu'à évaluer en 1 demi, ça tombe bien, ce terme là fait 0, 1 demi, ça, ça fait 1 demi, et là, j'ai du 1 demi à la puissance N plus 1, donc, voilà l'expression, ça me fait moins 1 demi à la puissance N, qui est donc positif ou nul, enfin, qui est même strictement positif, mais bon, peu importe. Pn de Un, il est égal à 0, et toujours en utilisant la croissance de Pn, je range les images dans le même sens que les antécédents. Et donc, comme j'ai Pn de 1 demi qui est supérieur ou égal à Pn de Un, j'en déduis que Un est supérieur ou égal à 1 demi. Ensuite, on nous fait donner un réel Rho entre 1 demi et 1, on aimerait montrer que la limite en plus infinie de Pn de Rho, c'est strictement positif. Utilisons la deuxième expression, Pn de Rho, ça fait 2 Rho moins 1, moins Rho puissance N plus 1 sur 1 moins Rho, ça tombe bien comme Rho est supérieur à 1 demi, ce terme là est positif, comme il est inférieur à 1, ce terme là est positif aussi. Et là, j'ai le terme d'une suite géométrique qui tend vers 0, puisque Rho est strictement inférieur à 1. Et donc, finalement, Pn de Rho va tendre vers ce réel là, que je vais appeler L, et qui est strictement positif. Ok, parfait. Et grâce à tout ça, je veux pouvoir montrer que Un converge vers 1 demi. Alors déjà, on va devoir revenir à la définition, ce n'est pas forcément ce que les élèves préfèrent, mais il faut savoir le faire. Déjà, quand j'ai une suite qui tend vers L, à partir d'un certain rang, ce sera forcément positif. Si je prends ε égale L sur 2, je sais qu'elle sera compris la suite entre L moins L sur 2 et L plus L sur 2, donc tout ça, c'est positif dans cette zone là. Donc là, tout ce que je vais faire, c'est juste, ce que j'ai montré sur le dessin, c'est de le faire de façon analytique. Je pose ε' égale L sur 2, je sais donc qu'il existe un certain rang, tel que la valeur absolue de la différence entre Pn de Rho et L est inférieure à ε' dont j'ai dit qu'il est égal à L sur 2, et donc ça veut dire, en utilisant les inégalités sur les valeurs absolues, c'est à dire que Pn de Rho est supérieur à L sur 2, qui lui-même est positif. Donc je sais qu'il existe un rang à partir duquel c'est positif. Donc là, je vais encore utiliser la croissance de Pn. Donc une fois que cette condition est validée, si n est supérieur à n0, qu'est-ce que je sais ? Je sais que ça, ça vaut 0, Pn de Un par définition. Ça, on vient de dire que c'est positif à partir d'un certain rang. Et Pn de 1,5, on a dit que c'est négatif. Donc je peux bien ranger dans cet ordre-là les trois images, et donc par croissance de Pn, j'ai donc le même sens d'encadrement pour les antécédents, et donc j'ai Un qui est compris entre 1,5 et Rho. Sauf qu'en gros, il est quelconque entre 1,5 et 1. Donc là, l'astuce c'est de dire, je pose finalement Rho égale 1,5 plus Epsilon, avec Epsilon est supérieur à 0, et vous voyez bien que là, finalement, on a réécrit vraiment la définition de la limite. J'ai dit, soit Epsilon est supérieur à 0, il existe un rang à partir duquel, quand je dépasse ce rang, j'ai Un moins 1,5 en valeur absolue, qui est inférieur à Epsilon, puisque Un est compris entre 1,5 et 1,5 plus Epsilon. Donc voilà, j'ai écrit la définition formelle de la limite, et on a montré que Un tend vers 1,5. Donc voilà pour les suites implicites. Si je devais résumer, le mot clé le plus important, c'est de travailler sur ce que vérifie la suite, parce que je n'ai pas la valeur de la suite, mais j'ai ce qu'elle vérifie. Donc toujours repartir de l'équation qu'elle vérifie, et voilà, c'est un peu ça. Cette année, vous allez en faire pas mal. C'est des exercices qui peuvent être assez durs. Donc il faut maîtriser cette méthode. Voilà pour les suites implicites. C'est fini.

Suite implicite

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