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Analyse

Rappels sur les théorèmes de convergence

Ce cours présente deux théorèmes de comparaison en mathématiques, qui permettent de comparer des fonctions et de déterminer leurs comportements asymptotiques. Le premier théorème de comparaison stipule que si deux fonctions f et g sont telles que f tend vers l'infini et g est plus grande que f, alors f va "pousser" g et les deux fonctions tendront vers l'infini. Un exemple est donné pour illustrer ce théorème en prenant les fonctions f(x) = x²/4 + x et g(x) = x²/4 + x²/32. Il est montré graphiquement que g(x) est toujours au-dessus de f(x) et que si f tend vers l'infini, alors g tendra également vers l'infini.

Le deuxième théorème présenté est le théorème des gendarmes, également appelé théorème d'encadrement. Ce théorème est basé sur le concept d'encadrement d'une fonction entre deux autres fonctions. Si f et h encadrent une fonction g telle que f est inférieure à g et g est inférieure à h, et que les limites de f et h sont égales à un réel L, alors la limite de g sera également égale à L. Une illustration graphique est donnée pour montrer comment les deux fonctions encadrent une troisième fonction et que si les limites de f et h sont les mêmes, la limite de g sera également la même.

En conclusion, ces théorèmes de comparaison sont utiles pour comparer et étudier le comportement des fonctions en s'inspirant de fonctions "plus jolies" et pour déterminer leurs limites. Ils sont particulièrement utiles dans les exercices mathématiques.

Sur les fonctions, on va retrouver le même genre de théorème qu'on avait sur les suites. Des théorèmes qui vont nous permettre de comparer des fonctions et éviter d'étudier en détail des fonctions moches en pouvant juste s'inspirer de fonctions plus jolies qui ne sont pas très loin. Alors il y aura deux théorèmes au total. Ça va être un théorème de comparaison, théorème de comparaison et encadrement donc. Donc le théorème de comparaison comme avant, théorème d'encadrement c'est celui qu'on appelait les gendarmes, on peut aussi l'appeler les gendarmes. Théorème de comparaison, si on a deux fonctions f et g, telle que f tend vers plus l'infini et g est plus grande que f, alors f va genre pousser g. Si f tend vers plus l'infini, elle va aussi pousser g vers plus l'infini comme ça qu'il dégage. Donc je vous montre un exemple. Voilà mon brave exemple, j'ai f, brave fonction, si vous regardez plus près, là j'ai très dézoomé mais, f ma brave fonction x², alors j'ai pris x² divisé par 4 plus x uniquement sur x positif. Je n'ai pas envie de me prendre la tête avec les autres intervalles. Donc j'ai coupé un petit peu. Très bien, ça c'est f, et je vais prendre maintenant g²x qui va être écrit un peu pareil. Donc si vous voulez, vous pouvez voir ce que c'est ici. Hop, si je décale un peu, f c'est x² sur 4 plus x, et g²x ça va être la même chose sauf que j'ajoute plus x² sur 32. Hop, je cache un peu les coulisses. g c'est ça. Boom. Ben on y est, donc même si j'écarte un peu les axes comme ça, g est toujours au-dessus, vu que g en fait c'est f plus quelque chose. En gros plus en plus un terme qui est de plus en plus gros, c'est f plus x². Je comprends que si j'ai déjà montré que f tend vers plus infini, c'est sûr que g va décoller avec elle. En gros c'est un peu l'idée. Voilà, bon c'est assez simple, c'est pas l'exemple du siècle encore une fois, mais voilà. C'est vraiment l'idée très intuitive qu'il y a derrière ce théorème. Qu'est-ce qui vous dit d'autre ? C'est la même chose de l'autre côté, si vous avez f qui est plus grande que g, et cette fois-ci f tend vers moins l'infini, elle va plus vers le bas g, également vers moins l'infini. Incroyable. Le second théorème, donc c'est cet exemple-là que je vous ai mis, le second théorème c'est le théorème des gendarmes, donc le théorème d'encadrement si vous voulez. Et l'idée c'est comme on a vu pour les suites, si on a f et h qui viennent encadrer un petit peu g, et que f et h tendent vers la même chose, alors g va se faire aussi comprimer et tendre vers la même chose. Voilà, c'est l'idée. Après écrit proprement en mathématiques c'est ça qu'on dit pour trois fonctions f, g, h, telles que f plus petit que g plus petit que h, quel que soit x sur l'intervalle qu'on a défini. Si pour un réel L on a la limite de f et h qui est égale à L, alors ça sera aussi la limite de g. Petite illustration graphique, toujours très important les illustrations graphiques. Alors on a un truc comme ça, imaginons que j'ai une limite 3, voilà, j'ai une limite 3, je vais remettre ça à l'échelle, c'est pas du tout à l'échelle correcte, hop, voilà ça c'est pas mal, j'ai une limite 3, j'ai 3 plus 5 sur x, voilà je vous ai mis une fonction comme ça, qui tend vers 3 en plus infini clairement, voilà qui va s'écraser sur 3, je vais mettre une autre, 3 moins 5 sur x, si vous voulez voir encore une fois je peux vous le montrer, c'est ici, donc mes deux exemples, j'ai 3 plus 1 sur x, 3 moins 5 sur x, et qu'est-ce que je vais ajouter ? Je vais ajouter un petit sinus un peu spécifique, qui va me donner le graphe suivant, il se trouve que là j'ai 3 plus 5 sinus, en gros sinus x sur x, mais alors attendez, sinus x est compris entre moins 1 et 1, c'est pour ça que ma fonction est comprise entre les deux fonctions parfaitement, ma fonction sinus elle est parfaitement comprise entre mes deux hyperboles, et donc si je vais voir en plus infini ce qu'il se passe, je peux dire, oui elle se fait complètement écraser, les deux autres foncent vers 0, elles écrasent celle-ci avec elle, on a bien une illustration du terrain des gendarmes, c'est un peu les gendarmes qui prennent le prisonnier, qui va prisonner ses sinus ici, et qui l'amènent avec eux. Voilà, donc très simple, très basique, c'est comme pour les suites, mais appliqué aux fonctions, c'est très très très pratique en exo, donc vraiment à retenir, dès que vous avez la possibilité d'encadrer une fonction, donc en général pour le terrain des gendarmes, ce sera toujours pour montrer une limite finie, si ensuite vous voulez par contre dégommer une fonction à l'aide d'une autre, là ce serait le terrain de comparaison, dès qu'il y a une limite plus infinie à démontrer. Donc je peux le rajouter ici. Voilà, vous avez l'illustration finale, n'hésitez pas à me poser des questions dans la FAQ si vous n'êtes pas sûr de quelque chose, ou si vous avez des commentaires à faire, et je vous dis à la prochaine. Bonne journée, bonne soirée, ça dépend du contexte j'imagine.

Comparaison et encadrement

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