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Analyse

Rappels sur les théorèmes de convergence

Dans ce cours, nous étudions la croissance comparée et les limites de fonctions. La croissance comparée est l'idée selon laquelle l'exponentiel dominera toujours sur les puissances de x, peu importe leur valeur. Par exemple, si nous prenons l'exponentiel de x divisé par x puissance 7000, nous pourrions penser que cette expression tendra vers 0, mais en réalité, l'exponentiel domine complètement sur les puissances de x et tendra vers l'infini.

Nous pouvons également observer cette domination en examinant le graphique de l'exponentiel. Il monte rapidement vers l'infini et s'écrase rapidement vers zéro. Par conséquent, même les puissances de x comme x2 ou x3 seront éventuellement dépassées par l'exponentiel.

Pour démontrer la croissance comparée de manière générale, nous utilisons le théorème de comparaison. Nous prouvons d'abord le cas particulier de E2x/x tendant vers l'infini à l'aide du tableau de variation de la fonction. Ensuite, nous utilisons ce résultat pour démontrer le cas général avec n étant un entier quelconque. Nous utilisons des astuces de changement de variable et les propriétés des puissances pour simplifier les expressions et prouver finalement que E(x/n)^n tend vers l'infini

Un autre point très important de ce sous-chapitre sur les limites de fonctions, c'est la croissance comparée. La croissance comparée, en mots simples, c'est l'idée que l'exponentiel démonte n'importe quelle puissance de x. En gros, vous pouvez prendre l'exponentiel x, diviser par x puissance ce que vous voulez, genre E2x divisé par x puissance 7000, dans l'idée de se dire, bon allez, si je mets x puissance 7000, ça va bien finir par tendre vers 0, et ben non, toujours pas. L'exponentiel va toujours dominer complètement sur les x puissances n, c'est-à-dire que quand vous divisez E2x par x puissance n, la limite de ça, c'est toujours plus l'infini. Donc l'idée, c'est que ça monte tellement vite vers plus l'infini que ça peut emporter et dominer n'importe quelle puissance de x. Il y a ensuite la version équivalente, donc il y a la version simple en haut, avec un x puissance 1, qui est simple, que je vais utiliser pour démontrer en l'occurrence ce que je vais démontrer, puis utiliser pour démontrer la numéro 2. Donc en fait là, au final, la seule démonstration qu'on fera, c'est celle de la première propriété ici, et on pourra trouver les autres par démonstration, ça sera aussi des démonstrations, mais ça sera en utilisant ce premier résultat. La deuxième propriété, c'est celle qui dit qu'en moins l'infini, elle démonte tout aussi, elle s'écrase tellement vite sur 0 qu'elle emporte tout sur son passage. Voilà, je vais juste vous rappeler un petit peu le graphique, juste pour que vous ayez une idée quand même. Le graphique, il nous dit... Voilà le graphique de l'exponentiel, donc en rouge uniquement, en rouge uniquement, l'exponentiel monte très très vite et s'écrase très très fort, très vite. Genre arrivé à moins 5, je suis déjà complètement écrasé à 0. Donc l'idée, si je prends par exemple x2, l'idée c'est que l'exponentiel va finir toujours par dépasser x puissance n. Bon, là en fait, carrément, à partir de 0, on est déjà au-dessus. Donc c'est fini, elle ne dépassera plus jamais, enfin, x2 n'a plus de chance. Et ok, donc ce qu'on peut voir aussi c'est avec x3 par exemple, si je vous mets x3 ici, donc au début l'exponentiel est au-dessus, x3 reprend le dessus un petit peu, et puis, quand vous rezoomez, vous voyez qu'il y a un moment, à partir de je ne sais pas 100, où la rouge repasse par au-dessus. En gros l'exponentiel finit par être au-dessus de x3. Et ça vous pouvez le voir même en détendant un peu l'échelle, hop, voilà, on voit ça comme ça. Elle finit par être au-dessus, et donc, ben, elle domine complètement quoi. Ça c'est l'idée générale graphique. Donc ça écrase tout en 0, et donc là vous avez beau descendre très très très fort vers moins l'infini, votre x3 là il descend super vite. Si vous le multipliez par l'exponentiel, ça va se faire écraser. Le pouvoir d'écrasement de l'exponentiel est vraiment très fort. Pour la démonstration de la formule de croissance comparée, on va d'abord se contenter de démontrer la toute première. Bon, on veut démontrer que E2x sur x tend vers plus infini, on ne sait pas trop le faire directement, et là on va pouvoir utiliser la puissance du théorème de comparaison. Qu'est-ce qu'il nous dit ce théorème de comparaison ? C'est que si on arrive à comparer E2x sur x à quelque chose qui tend vers plus infini, on pourra en déduire que E2x sur x tend vers plus infini. L'idée ça serait de montrer que ça c'est plus grand que x par exemple, un truc très simple qui tend vers plus infini qu'on connaît bien. Alors il y a une astuce qui dit qu'en fait, vous verrez pourquoi, si on met x sur 2 ça marche mieux et c'est plus simple pour moi de faire les calculs. Donc imaginons, est-ce que j'ai ça si vous voulez ? On va dire quel que soit x, alors positif strict, on ne veut pas diviser par 0. Est-ce que je peux avoir ça ? Ça je l'aurais si et seulement si j'ai, on va multiplier par x qui est positif de chaque côté sans changer l'inégalité, parce qu'il est positif, il serait négatif ça serait problématique. Si et seulement si, exponentiel x est plus grand que x2 sur 2. Si et seulement si, E2x moins x2 sur 2 est plus grand ou égal à 0. Alors ça c'est intéressant. La magie du montage, alors pourquoi c'est intéressant ? Parce que si je pose f quand je vois ça, j'ai envie de montrer que ça c'est vrai. Qu'est-ce que je fais pour montrer que ce truc est vrai ? Ça ne tombe pas du ciel, donc il faut poser une fonction. Je pose une fonction f, soit f la fonction telle que, et je pose ça. Je vais l'appeler f telle que, quel que soit x, f de x sera égal à E2x moins x2 sur 2. Là il ne suit plus que l'étudiant et on essaie de voir si on peut montrer que ce truc là, ce f, va être toujours positif. Ce n'est pas très compliqué. Alors à nouveau ce petit bloc qui vient d'apparaître, ce sera ce bloc d'études de dérivation. Je sais que f est dérivable, donc je dis que ce n'est pas très compliqué, mais il y a quand même une petite nuance. f est dérivable donc je peux la dériver, f prime de x égale E2x moins x. C'est là, à ce niveau ici du calcul, qu'on comprend pourquoi j'ai mis le x2 sur 2. J'ai ajouté le 2 au début parce que quand je dérive ça me fait un truc plus joli. Donc j'ai f prime de x égale E2x moins x. Ok, incroyable. Mais ça, je ne sais pas, ce n'est pas évident le résultat de ce truc là. Peut-être qu'il faut que j'aille plus loin dans l'étude et que j'étudie f prime elle-même. Donc je peux dire que comme f prime est dérivable, alors f prime elle-même est égale à E2x moins 1. Ça je connais. Pourquoi je connais ? Je sais qu'exponentielle est croissante. Donc comme elle est croissante, entre 0 et x, si x est plus grand que 0, E2x est plus grand que E0 qui est égal à 1. Donc E2x moins 1 est positif. A partir de ça, je peux construire un tableau de variation complet. Ça c'est idéal. Alors on peut le remplir ensemble. Maintenant que j'ai ça, je peux dire que je suis entre 0 et plus infini. f prime prime est toujours positif. On vient de le démontrer. Ça veut dire que f prime elle-même est croissante. Très bien. f prime commence à quoi ? f prime de 0, donc je l'ai ici, je vais regarder. f prime de 0, c'est E de 0, 1, moins 0. Donc ça fait ce truc là en 0. 1, moins 0, ça fait 1. Idéal. Ça, ça veut dire que, je peux en déduire tout de suite, quel que soit x positif, f prime de x est en fait supérieur ou égal à 1 qui est positif strict. Parfait. Si f prime est positif strict, tout ce que j'ai à faire maintenant c'est dire que f est strictement croissante. Encore une fois, on remonte et on regarde. C'est très bien tout ça, mais f c'est quoi ? f de 0 c'est quoi ? J'ai f de x ici, donc f de 0 ça va être E de 0, moins 0, est égal à 1. Même chose. Donc ici je vais pouvoir écrire 1 dans mon tableau et considérer que, quel que soit x, positif ou nul, f de x est donc positif ou nul. Et donc je peux conclure. Revenir à l'équivalence qu'on avait écrite tout en haut. Donc, ça c'est vrai. Si et seulement si, cette chose est vraie. Si et seulement si, cette chose est vraie. Donc par le théorème de comparaison, je peux conclure que E de x sur x tend vers plus infini par comparaison. Bref, voyez toujours avec votre prof la rédaction la plus adaptée, ce que lui préfère. Ce que votre prof veut, en gros, s'il veut des petits mots, des virgules, des trucs spécifiques, faites-le. C'est lui qui vous met les points, donc c'est lui qu'il ne faut pas embêter et qu'il ne faut pas énerver. Pour la démonstration générale avec un entier n quelconque qu'on fixe, on va essayer d'utiliser ce qu'on vient de démontrer pour E de x divisé par un grand x et le faire apparaître dans l'expression. On va utiliser d'abord cette idée ici, cette propriété sur les puissances que vous connaissez bien. On va appliquer cette propriété des puissances à l'exponentiel. Et on va l'appliquer non pas à 10, mais à l'exponentiel. L'exponentiel est une fonction de puissance. Et on va l'utiliser pour a égale x sur n et b égale n. En effet, x sur n fois n égale x. Donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va écrire x égale x sur n fois n et on va pouvoir diviser ça comme ça. Pour quelles raisons je fais ça ? Je fais ça pour l'unique raison que je veux avoir quelque chose qui est en puissance n, mais d'un seul bloc. Je veux rentrer l'exponentiel dans la puissance n, si vous voulez. Donc c'est ma manière de faire. Et là, je commence à me dire que ça ressemble un petit peu à du E de x sur x. Un petit peu. Pour le faire de manière vraiment propre, ce qu'il faudrait faire, c'est écrire en bas, posons grand x égale petit x sur n. Puis remarquons par ailleurs que si x tend vers plus infini, on a toujours grand x qui tend vers plus infini. Ça c'est très bien. Si je fais ça, je commence à avoir un truc qui s'approche. Alors malheureusement, en dessous, là j'ai pas x sur n. J'ai x tout courant. Donc il va falloir que je fasse x divisé par n ici fois n. Pour compenser. C'est ce que je vais faire dans les thèmes d'après. Et je me rends compte ici que si j'écris donc x sur n, j'impose le x sur n exprès, parce que je veux repérer qu'ici j'ai un x et un x pour appliquer mon résultat précédent. Donc je l'impose. Je fais apparaître le n. Mais ça serait faux de faire ça. On peut pas faire en mode apparaître un truc quand ça nous arrange. Enfin on peut, mais il faut le compenser. C'est-à-dire que si je mets un x sur n ici, un sur n, il faut que je fasse un x sur n. Donc c'est-à-dire qu'il va me rester un petit x sur n ici. Et quand je le sors de la puissance, ce que ça va me donner au final, c'est x, donc ça sera n en dessous ici, x 1 sur n. Donc si je regarde bien, ce n puissance n peut s'intégrer ici et se divisera avec celui-là pour retrouver un x tout simple. Pourquoi est-ce qu'on fait tous ces jeux d'écriture ? Parce qu'enfin, quand j'ai fait ça, je peux retrouver un genre de E de x sur x. Et là c'est bon. Quand j'ai un E de x sur x, je peux appliquer mon résultat précédent. Donc si je l'écris, ça donne E de x sur x puissance n. Quand j'écris avec mon écriture de changement de variable x, E de x sur x puissance n fois une constante. Et donc ça, ça tend vers puissance infinie. Donc sa puissance n tend vers puissance infinie. Et donc le tout, quand x tend vers puissance infinie, il ne faut écrire que ça. Ça je vous l'ai mis ici, c'est-à-dire aussi qu'un x tend vers puissance infinie. C'est pour que vous ne vous oubliez pas. Tend vers puissance infinie. Fin de la démonstration. On utilise ce qu'on a déjà construit absolument. On ne recommence pas à zéro. Ça demande de faire un petit effort de reconnaître le truc en faisant un changement de variable, en utilisant les propriétés de la puissance. Mais au moins, c'est vite fait rapide. Entraînez-vous à le faire, ce changement de variable, ce genre de truc, c'est vachement important. Pour cette dernière étape, ça va être un peu la même idée qu'avant. On va encore faire un changement de variable. C'est-à-dire qu'on va s'inspirer de ce qu'on vient de démontrer pour montrer le résultat qu'il nous faut. Donc ici, ce qu'on veut démontrer, c'est ça. Que quand x tend vers moins l'infini, ce truc là tend vers zéro. Cette quantité. En gros, c'est l'idée que j'ai racontée au début. L'exponentiel écrase en zéro aussi. Donc, x tend vers moins l'infini, ça nous inspire pour faire grand x égale moins petit x. On prend un changement de variable très très simple. On a moins x, le tout puissant saine. Et je peux séparer les deux, le moins grand puissant saine et le x puissant saine. Petite e de x devient petite e de moins grand x. Et ensuite, je reconnais grâce à la propriété des puissances que ça, je peux l'écrire de cette manière-là. Le e de moins x, si vous voulez, c'est égal à 1 sur e de x. Ça, c'est très classique. Et donc, j'ai ce truc-là. Or, je viens de démontrer juste avant que e de x sur x puissant saine tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. Donc ce machin-là tend vers zéro. Tout bêtement. Et donc, j'ai bien ce truc-là qui, quand grand x tend vers plus l'infini, ce qui correspond à petit x tend vers moins l'infini tend vers zéro. C'est démontré. C'était une longue vidéo. Voilà, c'était beaucoup de démonstrations. C'est un peu plus long que d'habitude. N'hésitez pas, si vous avez besoin de précision sur le changement de variable, à poser des questions, venir discuter avec nous. C'est une méthode pratique. Il faut la connaître dans le cadre de ces démonstrations-là, mais c'est bien aussi d'avoir ça en tête pour les exos, pour certains calculs de limites, ou des fois faire un petit changement, voire autrement une expression, pourra aider à trouver une solution très simple. Voilà, je vous dis à la prochaine, et courage pour tout !

Croissance comparée exp et ln

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