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Forme indéterminée : utilisation du terme plus haut degré
Dans ce cours, nous allons voir comment déterminer les limites infinies des polynômes et des fonctions rationnelles.
La méthode à utiliser est la factorisation par le terme de plus haut degré, appelé "terme de Claudegris". Ce terme sera le seul à prendre en compte pour déterminer la limite.
Prenons l'exemple de la fonction G(x) = x^4 + 4x^2 - 2x. On peut voir que cette fonction a une forme indéterminée, car pour x tendant vers plus ou moins l'infini, la somme des termes tend vers l'indéterminé.
En factorisant par x^4, on obtient : G(x) = (1 + 4/x^2 - 2/x^3). Peu importe que x tende vers plus ou moins l'infini, cette expression tend vers 0. Ainsi, x^4 tend vers plus l'infini.
Pour une fonction rationnelle ayant un quotient de deux polynômes, la méthode est la même. On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré.
Prenons l'exemple de la fonction rationnelle H(x) = 2x^2 / (1 - x). En factorisant le dénominateur par le terme de Claudegris, x, on obtient : H(x) = 2x / (x - 1/x).
Cette expression tend vers -1, que ce soit pour x tendant vers plus ou moins l'infini. Ainsi, le quotient de 2x par (x - 1/x) tend vers moins l'infini pour x tendant vers moins l'infini, et vers plus l'infini pour x tendant vers plus l'infini.
En résumé, il suffit de factoriser par le terme de plus haut degré pour résoudre les indéterminations des polynômes et des fonctions rationnelles. Il est important de maîtriser cette méthode qui fonctionne à tous les coups. N'hésitez pas à vous entraîner si vous avez encore des doutes.
