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Rappels sur les théorèmes de convergence

La croissance comparée est une méthode très utile en mathématiques. Lorsque nous étudions la fonction e de x sur x, nous pouvons observer que lorsque x tend vers moins l'infini, cette fonction tend vers 0. De plus, grâce à la croissance comparée, nous savons que e de x l'emporte sur toute puissance de x, ce qui signifie que même lorsque x tend vers plus l'infini, cette fonction tendra toujours vers plus l'infini.

Ensuite, nous étudions une autre fonction appelée h. En utilisant la croissance comparée, nous pouvons transformer cette fonction en une formulation plus simple, en posant grand x égal à x. Ainsi, lorsque x tend vers moins l'infini, grand x tend vers plus l'infini, ce qui nous permet de simplifier la fonction. Par composition des limites, nous pouvons déduire que cette fonction tendra vers 0 lorsque x tend vers moins l'infini.

En général, la croissance comparée nous permet de déterminer rapidement le comportement de différentes fonctions. L'exponentielle l'emporte sur toutes les puissances de x, tandis que le logarithme perd toujours contre les puissances de x. Il est important de se rappeler de ces références de croissance comparée pour résoudre plus facilement les problèmes.

Si vous avez des questions supplémentaires, n'hésitez pas à consulter la FAQ.

Dernière méthode très utile, utiliser la croissance comparée, ça peut servir très souvent. Typiquement, première fonction qu'on nous demande d'étudier, e de x sur x. Donc e de x sur x, déjà en moins l'infini il n'y a pas de souci, puisque e de x attend vers 0, x est sur moins l'infini, 0 sur moins l'infini, ça fait toujours 0, donc pas de problème. En plus infini, de base, on a une forme indéterminée, puisque ça fait plus infini sur plus infini, et par croissance comparée, c'est ce que me dit mon cours, finalement, je sais que e de x l'emporte sur toute puissance de x, e de x sur x puissance n, dans tous les cas, même si n est très grand, ça tendra toujours vers plus infini. Donc voilà, f tend vers plus infini. Ensuite, on a une deuxième fonction, h, qui est un peu différente, un peu plus complexe. Faisons une petite analyse, en moins l'infini, j'ai ce truc-là qui tend vers plus infini, et maintenant, qu'est-ce qu'on fait du x e de x ? En fait, moi ce que je sais, c'est par croissance comparée, ce qu'on vient de dire, c'est que e de x sur x, en plus l'infini, ça tend vers plus infini. Et là, je vais poser un petit changement de variable astucieux, je pose grand x également x. Quand x tend vers moins infini petit x, c'est-à-dire que grand x tend vers plus infini, et donc en l'écrivant comme ça, le moins d'e de x, e de x, e de x, je peux dire que c'est 1 sur e de moins x, et je me retrouve avec mon x sur e de x, qui est l'inverse de ma croissance comparée de référence. Donc du coup, l'inverse de l'infini, c'est 0, donc ça, ça va tendre vers 0. Donc par composition des limites, ce moins 2x de 2x, en moins l'infini, va tendre vers 0. L'idée, c'est toujours la même, et l'exponential qui l'emporte, l'exponential tend vers 0, elle l'emporte sur x, quoi qu'il arrive, ou n'importe quelle puissance de x. Et le x puissance 4, il tend vers moins l'infini, enfin en moins l'infini, il tend vers plus infini, le e de 2, c'est une constante, ça ne va pas bouger, donc du coup, par somme, j'en déduis que ma fonction, je ne sais plus si c'était k ou h, je crois que c'est k, k de x tend vers plus l'infini quand x tend vers moins l'infini. En fait, le terme qui va compter, finalement, c'est le x puissance 4. Donc la croissance comparée, ça peut être très utile, il y a l'exponential à retenir, l'exponential l'emporte devant toute puissance de x, le ln, au contraire, perd, toute puissance de x l'emporte toujours par rapport au logarithme, par rapport à ln, donc quelle que soit la puissance du logarithme. Donc voilà, bien penser à utiliser ces croissances comparées de référence, ça nous permet de lever très facilement la détermination. Donc si vous avez la moindre question, n'hésitez pas à aller sur la FAQ. Voilà pour cette méthode.

Limites : la Croissance comparée

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