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Double racine
Bonjour à tous, je vais corriger cet exercice sur les limites. C'est un exercice de difficulté intermédiaire qui porte sur l'étude des limites d'une fonction f(x) = √(x) + √(1+x²).
Tout d'abord, il est important de déterminer sur quel ensemble de définition la fonction est définie. Pour cela, nous devons vérifier que les racines sont bien définies.
Dans un premier temps, nous vérifions que la racine la plus imbriquée (√(1+x²)) est définie pour tout x réel. En observant l'expression, nous constatons que pour tout x réel, 1+x² est toujours positif, donc il n'y a pas de problème pour la première racine.
Ensuite, nous regardons la deuxième racine (√(x+√(1+x²))). Si x est supérieur à 0, il n'y a aucun problème car x est positif et la racine est également positive. Si x est inférieur à 0, nous devons comparer les deux termes. En utilisant l'inégalité 1+x² > x², nous pouvons prendre la racine des deux côtés. Ainsi, nous obtenons √(1+x²) > |x|, ce qui signifie que x est négatif. Donc, l'intérieur de la racine est positif et la racine est définie pour tout x réel.
Nous concluons que la fonction f est définie sur l'ensemble des réels.
Ensuite, nous étudions le tableau de variation de la fonction. Pour cela, nous devons justifier la dérivabilité de la fonction sur tout l'ensemble des réels.
La fonction racine n'est pas dérivable en 0 car elle a une pente infinie à cet endroit. Donc, nous devons étudier cela de plus près. En simplifiant l'expression de la fonction, nous constatons que l'intérieur des racines doit être strictement positif. Nous avons déjà montré cela précédemment. Donc, la fonction f est dérivable sur tout l'ensemble des réels.
Calculons maintenant la dérivée de la fonction. En posant u(x) = x + √(1+x²), nous dérivons cette fonction et obtenons u'(x) = (√(1+x²) + x) / √(1+x²). En utilisant les formules de dérivation pour les racines, nous obtenons la dérivée de f qui est égale à (√(1+x²) + x) / 2√(1+x²).
Nous constatons que le terme au numérateur et le terme au dénominateur sont strictement positifs. Par conséquent, la dérivée de f est toujours positive et la fonction f est strictement croissante sur tout l'ensemble des réels.
Passons maintenant aux limites de la fonction. La limite de f lorsque x tend vers l'infini est égale à l'infini. En justifiant par composition, nous pou
