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Analyse

Rappels sur les théorèmes de convergence

Ce cours porte sur la recherche des bornes de définition d'une fonction et la détermination des limites aux bornes. 

Pour trouver les bornes de définition, il faut s'assurer que ce qui se trouve sous la racine carrée est positif ou nul. On sait que cela se produit lorsque x est strictement supérieur à 1 ou strictement inférieur à -1.

Ensuite, il faut également vérifier que la racine carrée de x²-1 est différente de zéro, car on ne peut pas diviser par zéro. 

Pour résoudre ce problème, il faut faire attention à ne pas simplement supprimer -1 et 1 pour garder les valeurs entre -1 et 1. En effet, cela ne fonctionne pas car il y a des valeurs pour lesquelles la fonction deviendrait négative. On peut vérifier cela en substituant x par 0.5 par exemple. 

Les bornes de définition de la fonction sont donc les intervalles entre -∞ et -1, entre -1 et 1, entre 1 et ∞. 

Il est également utile de vérifier si la fonction est paire ou impaire. Si elle est impaire, cela signifie que si on connaît son évolution pour x croissant, on peut automatiquement en déduire son évolution pour x décroissant. Cela permet de diviser par deux la quantité de travail nécessaire pour calculer les limites. 

Dans cet exercice, la fonction est impaire, ce qui signifie que si on trouve les limites pour x tendant vers +∞ et x tendant vers -∞, on peut en déduire les limites pour x tendant vers -∞ et x tendant vers +∞ respectivement. 

En utilisant cette information, on peut trouver les limites pour les segments de droite et pour x tendant vers +∞. 

Dans le cas où on n'observe pas l'imparité de la fonction, on peut utiliser d'autres méthodes pour trouver les limites. 

Ensuite, l'auteur du cours explique comment trouver les limites pour x tendant vers 1 et x tendant vers -∞. Il utilise la propriété de la racine carrée et la règle de la parité pour simplifier les calculs. 

Finalement, il conclut en expliquant qu'il y a bien des asymptotes pour cette fonction. Il mentionne qu'il y a une asymptote horizontale à y = 1 pour les limites en +∞ et une asymptote verticale à y = -1 pour les limites en -∞. Il précise également qu'il y a une autre asymptote verticale à x = 0+ pour les limites lorsque x approche de 0+.

En résumé, ce cours explique comment trouver les bornes de définition d'une fonction, déterminer les limites aux bornes, et identifier les asymptotes.

C'est encore un exercice d'asymptote, mais cette fois-ci avec une expression un peu plus complexe que ce qu'on a pu voir. Trouvez des f, je mets cette question parce que souvent j'ai vu des élèves à moi se planter. Il faut écrire je pense, le bon conseil c'est d'écrire ce que vous voulez faire en français. Bah oui parce qu'une racine n'est définie que pour des nombres positifs ou nuls sur R+. Donc il faut que ce qu'il y a sous la racine soit positif ou nul. Vous savez que c'est quand x est plus grand que 1 en gros ou plus petit que moins 1. C'est le premier truc qu'on veut. On veut également, parce que ça c'était la racine, mais ensuite on voit que la fonction est définie comme un quotient. On veut également que racine de x²-1 soit différente de 0. On ne veut pas diviser par 0. Là on est content parce qu'on a la réponse. Vous pouvez être en deux étapes. Si vous pouvez être en deux étapes vous allez le faire vite parce que l'erreur à faire ici, qui est rapidement faisable, c'est de croire qu'en fait on va juste virer moins 1 et 1, les deux points. Et donc on va garder les valeurs entre moins 1 et 1. Pour vous rendre compte que ça ne marche pas, vous pouvez mettre x égale 0.5 par exemple dans la fonction. Ça vous fait 0.5 sur 0.25 moins 1. C'est négatif, ça ne marche pas. Limite aux bornes de DF. Aux bornes de DF, l'ensemble de définition, il y en a quatre. Celle-ci, celle-ci, celle-ci et celle-ci. Il faut faire attention ici. Donc les quatre sont gérables. Je vais faire deux méthodes. Il y a quand même un truc qui peut vous sauver un peu. Ce n'est pas une écriture cette fois-ci mais c'est une remarque. C'est un réflexe qu'il faut avoir dès qu'il y a une telle fonction. C'est de checker tout de suite s'il y a une parité spécifique. Est-ce que la fonction est impaire ou est-ce que la fonction est paire ? Ça c'est top parce que si vous pouvez faire ça, vous écrivez, on aura. Parfait. Donc f impaire. Ça c'est super parce que si f est impaire, qu'est-ce que ça veut dire ? Quand j'ai compris l'évolution de la fonction sur 0 plus infini, j'ai automatiquement son évolution sur 0 moins l'infini, enfin sur moins l'infini 0. Tout simplement parce que je sais que la fonction, sa courbe, elle met un centre de symétrie, le point O. Par exemple, si la fonction tend vers 3 en plus infini, j'ai dit ça me piffe, je sais qu'elle tendra vers moins 3 en moins l'infini. Donc ça, ça fait quoi ? Ça veut dire que quand on me dit trouver les limites, déjà je dis ok, je trouve ces deux-là. Et ces deux-là, je les aurai automatiquement par symétrie. Ça divise par deux la quantité de travail. C'est pour ça que ça vaut le coup d'avoir des bons réflexes. C'est d'avoir des petites méthodes qu'on retient par cœur pour tous les chapitres. Dans chaque chapitre, il y a des petites méthodes comme ça à avoir. Des bons réflexes, des bons garde-fous qui font qu'en fait, vous prenez le temps de vous poser des questions qui prennent une milliseconde, mais des fois ça rapporte vachement. Vous dites, c'est paire ou pas ? Ok, c'est pas paire, c'est pas grave. Ah, là c'est impaire, je peux faire quelque chose. Par exemple, un exemple où ça serait foutu, c'est la même fonction qui écrit x plus 2. Vous faites f de moins x avec x plus 2, ça vous fera moins x plus 2. Ça ne marche pas. La fonction ne sera ni paire ni impaire. C'est pas grave. Mais vous aurez pris une demi-seconde pour vérifier est-ce que c'est paire ou impaire. Ça aurait pris une demi-seconde, elle aurait été perdue. Mais pour les 5 à 10 minutes que vous allez peut-être gagner, dans certains cas, j'en suis si, c'est vraiment incroyable d'avoir les bons réflexes. Donc c'est parti. On commence, après on va faire comme si on connaît l'imparité et comme si on ne la connaît pas. Je vais commencer par les deux qui sont les plus faciles, qui sont donc celles de droite. Celles en 1 par la droite. Ce que j'appelle par la droite, c'est 1 par ici. Et celles en plus infini. Par la droite, on appelle ça 1 plus. Déjà, premier truc, avant de le résoudre, le feeling. En plus infini, x carré moins 1, en gros c'est x carré. Racine de x carré, x positif, ça fait racine de x carré, ça fait x. Donc j'ai du x sur x, c'est à peu près égal à 1 en plus infini. Limite 1. C'est parti. Je vais écrire juste par x en haut et en bas, sinon ça me fait... C'est parfait, je vire tout ça. Ce truc là tend vers 0. Tout ça, ça tend vers 1. Je peux donc dire, le tout, quand x tend vers plus infini, tend vers 1. Par imparité, je peux en déduire tout de suite qu'en moins infini, cette fonction tend vers moins 1. Juste parce que la fonction est impaire. Donc je trouve 1. Excellent. Cherchons maintenant la limite en 1 plus. Quand on arrive par la droite. 1 plus, c'est genre 1,01 si vous voulez. Au carré, ça fait un peu plus que ça, enfin ça fait 1,0 quelque chose, donc on est toujours au-dessus. Et heureusement, puisque ça tendrait vers 0 moins, je ne pourrais pas définir la racine. C'est pour ça qu'on est de ce côté. x tend vers 1 plus, racine de x de moins 1 tend vers 0 plus, c'est du 1 sur 0 plus. Apparemment on a le droit d'écrire ça, c'est au brouillon. Et donc par imparité, ça c'est quand x tend vers 1 plus. Je peux dire que si x tend vers l'autre côté, moins 1 moins, c'est-à-dire par ici, moins 1 un petit peu avant moins 1, donc moins 1,01. Par exemple, quand x tend vers moins 1, je sais que la limite sera l'inverse de celle-ci, enfin l'opposé par rapport à O, le symétrique par rapport à O, qui sera moins l'infini. Là l'exercice de cette question est fini si vous avez remarqué l'imparité. Si vous n'avez pas remarqué l'imparité, on va devoir faire la limite en moins l'infini par exemple. Limite en moins l'infini. Nous, astucieusement, on a remarqué que c'était moins 1, on va essayer de revoir dans le calcul comment le trouver. Je sépare les racines. Racine de a fois b, c'est racine de a fois racine de b, pour des nombres positifs en tout cas. Racine de 1 moins 1 sur x2. Là en fait, il y a un piège qui m'a fait perdre des points à l'époque avec assez d'énervement quand j'étais sur les bancs du lycée. Il faut faire attention à ça. Racine de x², quand on est en moins l'infini, ici on parle de x qui est négatif, parce que x approche des valeurs de moins 1 million, moins 1 milliard, jusqu'à moins l'infini. Il faut faire vachement attention quand un nombre est négatif. Racine de moins 7 au carré, ça ne fait pas moins 7, ça fait plus 7. En fait, c'est juste un rappel que, si je vous le mets en rouge, racine de x² égale la valeur absolue de x. C'est-à-dire que, si, tout ça je ne vais dire rien, ça ne sert à rien, c'est juste pour illustrer. Racine de x², c'est égal à la valeur absolue de x. Ça, c'est la règle générale. Et ensuite, il faut voir si x est négatif ou positif. Et selon ça, selon le signe de x, ça va changer un petit peu. Donc il faut l'écrire, et vraiment l'écrire, notamment dans une démarche complètement, comment dire, prosélite avec votre prof. Bien lui montrer que vous, vous y avez pensé, vous avez compris, vous n'allez pas tomber dans le panneau, ou vous ne l'appelez pas. Ce qui va attendre tous les élèves au tournant, c'est sûr. Là, vous vous remplacez, vous dites, Ah ! Ce machin tend toujours vers 1, quand x tend vers moins 1, moins. Pas de problème. Le tout tend vers moins 1, quand x tend vers moins 1, moins. Quand x tend vers moins 1, moins. Alors là, il ne faut pas se tromper. Quand x tend vers moins 1, moins, qu'est-ce qu'on a ? Moins 1, moins, c'est genre moins 1,01. Donc c'est un truc qui est petit, mais en valeur absolue, c'est plus que 1. C'est moins 1,01, c'est pas, parce que je range les nombres comme ça, j'ai moins 1 ici, quand j'arrive par la gauche, en moins 1, moins, c'est moins 1,01. Ce n'est pas moins 0,999, ou je ne sais pas quoi d'approchant. Donc j'ai ce moins 1,01, le moins, quand je mets ça au carré, devient le plus, donc je retrouve du 1,01 au carré. Donc je suis légèrement au-dessus de 1 quand je mets au carré. C'est pour ça, bon, x², je vais pouvoir dire tend vers 1+. Et donc, je retrouve la raisonnement tout à l'heure, racine de x² moins 1 tend vers 0+. Magnifique, j'ai trouvé f de x tend vers moins 1. Parfait. Donc ça, ce sont les 4 calculs de limites. Y a-t-il des asymptotes ? Bon, là, je peux conclure, il faudrait que je rajoute ma question 3 à chaque endroit. Limite en plus infini, oui. Horizontale, vu qu'il y a une limite finie en plus infini. Ça va se coller à la droite, y égale 1. De la même manière, ici, ça tend en plus infini pour une valeur finie, ça fait comme les fonctions hyperboles 1 sur x. Donc question 3, ici, je peux répondre asymptote, cette fois-ci, non pas horizontale, mais verticale. Cette fois-ci, non pas y égale 1, mais y égale moins 1. Et enfin, asymptote verticale. Je disais que c'était moins 1 ici sur 0+. Je sais pas pourquoi j'ai écrit 1 ici, j'ai mélangé les deux sur 0+, ça fait donc moins l'infini. Oups. Tout le boulot était fait quand vous avez fait les limites. La question 3, c'était juste un petit supplément. Mais vu que les limites, enfin les asymptotes, qui sont au programme, ce sont les horizontales et les verticales, vous pensez que, ok, limite en plus infini et point interdit. Après, vous avez fait le temps.

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