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Analyse

Rappels sur les théorèmes de convergence

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui date de 2009 et concerne l'étude d'une fonction. Dans cet exercice, il est demandé d'étudier une fonction, de trouver sa limite en plus infini, et de montrer qu'elle admet un maximum.

Pour trouver la limite en plus infini, on utilise la croissance comparée. On compare la convergence de l'exponentielle à celle des puissances de x lorsque x tend vers plus infini. On constate que l'exponentielle domine toujours une puissance de x, par conséquent, la limite de la fonction est 0 lorsque x tend vers plus infini.

Ensuite, pour montrer que la fonction admet un maximum, on calcule sa dérivée. On applique la formule du produit de deux fonctions, ce qui donne une expression avec des exponentielles. On utilise une règle de dérivation pour simplifier l'expression. On constate que la dérivée est positive ou nulle sur l'ensemble des réels positifs.

On trouve que la dérivée est positive lorsque x est plus petit que la racine de 2 sur 2 (√2/2), et négative lorsque x est plus grand que √2/2. En construisant un tableau de variations, on détermine que la fonction monte puis descend, avec un maximum en √2/2.

Pour calculer la valeur du maximum, on remplace x par √2/2 dans la fonction et on simplifie l'expression. On obtient racine de 2 sur 2 fois l'exponentielle de -1,5.

Cela conclut l'exemple.

Cet exercice là c'est un bac 2009, donc c'est assez vieux, c'est peut-être pas exactement le niveau que vous, vous aurez parce que le niveau a un peu baissé depuis 12-13 ans mais il est pas mal parce qu'en gros dedans il y a une étude de fonction complète, quasiment. Donc il faut étudier la fonction, trouver la limite en plus infini, donc ça c'est le début et ensuite montrer qu'elle admet un maximum, ça ça peut être une étude de fonction donc c'est l'occasion de revoir un petit peu les études de fonction, donc cherchons. La limite en plus infini, on a. Alors là c'est pas simple parce qu'en plus infini, ça ça tend vers plus infini, le x tend vers plus infini en plus infini, ça ça tend vers, e de moins l'infini en gros, ça tend vers 0, donc j'ai une forme à déterminer. Donc j'ai du plus infini, du 0, ça marche pas. Ce qu'il faut faire ici c'est utiliser ce qu'on appelle la croissance comparée. La croissance comparée, on rappelle, c'est l'idée de pouvoir comparer la convergence de l'exponentiel par rapport à la convergence des x puissance n, avec n antinaturel. Quand x tend vers plus infini, ce rapport là tend vers plus infini, c'est-à-dire que l'exponentiel domine tout le temps. Elle finit toujours par dominer une puissance de x, donc x puissance 2000 finira par se faire dépasser par l'exponentiel, c'est un peu l'idée. Donc si on connaît ça ici, on peut se dire que là il y a quelque chose à faire. Donc je vais le faire, f de x est égal, donc il y a un petit travail de réécriture. Et en général quand vous avez une forme à déterminer avec l'exponentiel, c'est souvent ça qu'il faudra faire. Donc soit il y a une somme, il faudra plutôt factoriser par un terme. Si vous avez une multiplication, il faudra penser à ce qu'on appelle la croissance comparée, c'est-à-dire cette chose là. J'aimerais bien avoir non pas x et x² mais la même chose dans l'exponentiel et en dessous, comme dans ma formule de cours. Donc en haut je vais écrire x² sur e de x², ce qui me force à faire fois 1 sur x. Comme moi je sais que, je vais écrire x² sur e de x², c'est en fait l'inverse de e de x² sur x². C'est-à-dire que c'est l'inverse de e de x² sur x². Ça on sait que c'est inverse plus infini. Ça c'est inverse plus infini. Donc je pose x², je sais que c'est inverse plus infini, tout bêtement. Donc en gros j'ai fait exprès de faire apparaître un x² en dessous pour avoir le même terme en haut et en bas pour pouvoir appliquer cette formule. J'ai e de x sur x², ça c'est inverse plus infini, le tout est inverse 0. L'inverse de 1 sur x² c'est inverse 0, le plus en l'occurrence. Quand x tend vers plus infini. Donc ce machin tend vers 0. Or ce machin-là tend aussi vers 0 quand x tend vers plus infini. Le tout tend vers 0. Question 2. Montrez que f admet un maximum en racine de 2 sur 2, etc. Là il n'y a pas de mystère, tout ce qu'il faut faire c'est calculer. Dire f est dérivable sur R+, alors là il ne faut pas se tomber. C'est une fonction u fois v, donc c'est une fonction où il y a en gros un produit de deux fonctions. Comme j'ai un produit de deux fonctions, qu'est-ce que je fais ? J'applique la formule u'v plus v'u. Ça nous donne u' c'est 1 fois v e de x² plus v' fois u, donc u c'est x. v' c'est la dérivée de ce truc-là, donc c'est e d'une fonction. C'est donc la dérivée de la fonction dans l'exponentielle. Petit rappel on a e2u' égale u'e2u. F' de x est positif ou nul si et seulement si. Comme ça c'est positif, donc c'est les différentes étapes d'étude de fonction. On calcule la dérivée et on regarde quand est-ce qu'elle change de signe. Donc je vois quand est-ce qu'elle est positive ou nulle. Et je regarde, ben si et seulement si, 1-2x2, positif ou nul. Si et seulement si, on est sur R+. Comme on est sur R+, il ne faut pas se prendre la tête avec les solutions qui peuvent être négatives, etc. C'est si et seulement si 2x2 est plus petit que 1, si et seulement si, x² est plus petit que 1. Donc, f' de x, positif ou nul, si et seulement si, x² est plus petit qu'1,5. Ça fait pour x positif, si et seulement si, x est plus petit ou égal que √1,5. Et √1,5 c'est √2 sur 2. Si vous ne savez pas le faire, c'est en fait 1 sur √2, on fait x√2 en haut et en bas. On trouve √2 sur 2. Ça me permet de faire un tableau. Tout de suite j'ai le tableau de variation de la fonction. Je suis entre 0 et plus infini. J'ai √2 sur 2 qui va être la valeur du changement de signe, de la dérivée que je viens de trouver. J'ai f', elle vaut 0 à cet endroit là. Elle est positive, f', quand x est plus petit que √2. C'est donc ici. Elle est donc négative de l'autre côté, par complémentarité. Ça me donne pour f des variations, plus, moins, elle monte, puis elle descend. J'ai trouvé la limite en plus infini, c'était la question d'avant. Je peux la mettre dans mon tableau. Je suis content, parce que si j'avais trouvé une fonction qui avait une limite plus infini en plus infini, je serais un peu dans la panale là, parce que j'aurais quelque chose qui descend vers plus infini. Ça serait un bon signal pour dire qu'il y a quelque chose de faux. Il faut toujours se méfier et essayer de se rappeler ce qu'on a fait avant. Ça peut aider à détecter des erreurs bêtes en gros. Donc là j'ai 0. f en 0 elle valait combien ? Je vais remplir le tableau quand même. f de 0 ça fait 0. J'ai un petit 0 ici. J'ai en effet un max à cet endroit là. Là j'ai f de racine de 2 sur 2. J'ai bien un maximum. Dernière question, on demande la valeur. Deux valeurs. f de racine de 2 sur 2 égale racine de 2 sur 2 fois exponentielle de moins... Racine de 2 sur 2 au carré c'est 1,5. Voilà. C'est la fin de l'exemple.

Difficile : BAC 2009

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