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Analyse

Rappels sur les théorèmes de convergence

Ce cours aborde la démonstration d'un exercice classique en mathématiques. L'objectif est de rappeler une limite importante et d'étudier les variations d'une fonction dérivable. Le professeur utilise des techniques de calcul pour simplifier les expressions et établir les résultats demandés. Notamment, il démontre que la limite de la fonction tend vers l'infini et identifie une asymptote horizontale à la courbe. Enfin, il effectue un tableau de variations pour déterminer les intervalles où la dérivée de la fonction est positive ou nulle. La conclusion indique que la limite de la fonction, quand X tend vers moins l'infini, est égale à 1, ce qui permet de déduire une autre asymptote horizontale à la courbe.

Cet exercice est vraiment un classique, très simple, il faut savoir maîtriser ça. Je vous l'ai mis juste principalement pour le rappel de cette limite ici. Donc je mets ça dans ce rappel là, je vais le redémontrer en une seconde. Je sais que des fois ça, ça peut perturber les gens, ça peut perturber les élèves qui ont appris bien gentiment la formule E2X sur XplicenceN et qui ont oublié celle-ci, donc je me suis dit ça vaut le coup de la rappeler avec un petit exo. Le reste de l'exercice est assez... va cool de source. Je vais vous le faire assez vite comme ça. Donc on vous dit F2X égale... Déjà le premier truc que je veux faire c'est appliquer ma grande maîtrise des puissances pour tout de suite me débarrasser de ce "-1 dans la puissance", donc ça fait XE2X divisé par E. Parce que E puissance "-1", c'est E et c'est juste une constante. Si je fais ça, maintenant je peux juste me focaliser sur XE2X. Je vais remplacer petit x par "-X", sur E de grand x. Pourquoi je fais ça ? Parce que si petit x tend vers moins l'infini, mon grand x tend vers plus l'infini. Et là, je connais des formules simples. Donc je peux écrire que ça, c'est "-X sur E2X", 0 parce que c'est l'inverse de l'infini, moins parce que j'ai un signe moins qui est là. Et donc je peux conclure. C'est comme ça qu'on le fait. Je pense que si vous avez besoin de le redémontrer, c'est un peu sale idée, on se rapporte à la formule connue qui est E2X sur X tend vers plus l'infini. Mais sinon, il faut juste apprendre ça, et je pense que ça passe. Que peut-on en déduire pour la courbe CF ? Comme asymptote... Comme asymptote... horizontale. Donc ça c'est assez simple. Déterminer la limite de F en plus l'infini. En plus l'infini, honnêtement il n'y a pas trop de problème. On a vu que la fonction c'était X E2X, c'est un produit de fonction qui tend vers plus l'infini, là il n'y a vraiment pas de problème. Petit 3, on admet que F est dérivable sur R. Ça se démonte facilement, on l'admet, on pourrait juste dire que c'est un produit de fonction dérivable. C'est donc dérivable, aucun problème. On vous donne F'2X, et on vous dit étudiez les variations. C'est cadeau. Montrez que F' on ne vous le donne pas, il faut le montrer, donc calculons. Ça, ça va dégager, c'est une constante. Cette constante ne va pas nous déranger, donc je vais juste faire la formule du produit. Et ça va être facile, donc c'est U'V plus V'U, donc j'ai 1 sur E fois U'V, donc c'est 1 fois E2X, plus V'U, donc X fois E2X, égale X plus 1 fois E2X. Puis je vais remettre le moins 1 ici, pour réintégrer ce E ici. Et c'est ce qu'on me demande normalement, je pense. Oui, X plus 1, E2X moins 1. Enfin tout ce qu'on a à faire maintenant, c'est un petit tableau de variations. C'est en moins 1 que F'2X s'écrit, donc je peux écrire F'2X positif ou nul, si et seulement si, X plus 1 égale à moins 1. Important quand même. Je mets moins 1 ici, je dis que ça s'annule. Moins, plus, F', F, ça descend, ça remonte. Et voilà. Tout ce qu'on a à dire ensuite, c'est remettre les limites qu'on avait trouvées, donc 0 moins ici, et plus infini ici, si je ne me trompe pas. Donc c'est pas 0 moins 1, je me suis trompé. Donc ça c'est vrai. Et donc limite. Propoblique F, il y a un plus 1 dedans. Quand X tend vers moins l'infini. C'est la limite de ce machin là en effet, mais plus 1. Et donc ça va être égal à 1 moins... Oups. Donc elle admet Y égale 1 comme asymptote horizontale. J'ai une petite erreur de mon part. Ici c'est donc 1 moins... Et voilà.

Exp : indéterminée en -∞

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