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Méthodes avancées sur la continuité en un point

Dans cette vidéo, Paul explique la continuité des fonctions. Il commence par étudier la continuité de la fonction f pour une valeur a donnée. Il décompose la fonction en plusieurs morceaux continus et vérifie qu'ils se raccordent correctement. Il conclut que la fonction f est continue si et seulement si a est égal à 0 ou 1.

Ensuite, Paul examine la fonction g et cherche les valeurs des constantes α, β et γ pour lesquelles la fonction est continue. Il analyse les points de raccordement et utilise des équations pour déterminer les relations entre les constantes. Il trouve que f est continue si α + β = 1 et γ + β = 1. Il en déduit que α = γ et que β = 1 - γ. Ainsi, f est continue pour α, β, γ appartenant à l'ensemble (x, 1-x, x) pour x appartenant à R, où γ est libre et peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

En résumé, la vidéo explique les concepts de continuité des fonctions, examine la continuité de la fonction f pour différentes valeurs a, et détermine les valeurs des constantes α, β, γ pour lesquelles la fonction g est continue.

Salut c'est Paul, et on se retrouve pour une nouvelle vidéo où on va explorer la continuité de fonctions. Donc là on a des fonctions, ici f et g, et on va devoir étudier pour quelle valeur de a ici la fonction f était-elle continue, et pour quelle valeur alpha, beta, gamma, les fonctions g étaient-elles continues. Donc on a des fonctions ici qui sont découpées en plusieurs morceaux, donc en fait là c'est des morceaux qui sont chacun continu, et on va devoir vérifier qu'ils se raccordent bien entre eux, et pour quelle valeur de constantes s'ils raccordent bien. Ici on a trois morceaux, et on a deux points de regardement à vérifier. Donc pour la question 1, f est continue sur r privé de 1, car la fonction ax² est continue sur moins l'infini 1, et la fonction asinus pi sur 2x est continue sur 1 plus l'infini 1. Maintenant on va étudier la limite de f2x pour x super strictement supérieur ou égal à 1, donc par valeur positive quand x est envers 1. Pourquoi on n'étudie que par valeur positive ? Parce que le but c'est de vous montrer la continuité ici en 1, du coup pour ça on va vouloir montrer la continuité en 1 à droite et en 1 à gauche. Pour la continuité à gauche, on a déjà la continuité à gauche parce que ici c'est x est inférieur ou égal à 1. Donc ici cette fonction est déjà continue à gauche sur moins l'infini 1, et maintenant on n'a plus qu'à vérifier la continuité à droite en 1. Pour la continuité à droite, c'est la limite de f2x à droite en 1, et c'est la limite de asinus pi sur 2x à droite en 1 qui est égale à 1. Or la limite de f2x en 1 strictement par valeur négative c'est égal à la limite de ax² par valeur négative, c'est égal à a². Donc f est continue sur R, si et seulement si f est continue en 1, parce qu'elle est déjà continue sur R privé de 1, si et seulement si a² égale à a, donc f est continue sur R pour a est égale à 1 ou 0. Donc on peut encadrer et on passe à la question 2. Maintenant déterminer toutes les valeurs des constantes α, β, γ telles que la fonction g suivante soit continue. Maintenant on a 2 points de raccordement à satisfaire, et on a 3 constantes α, β, γ. Donc on cherche une relation sur α, β, γ pour que la fonction soit continue sur R. Donc la fonction g est continue sur R privé de 0, 1, 1, je ne vous fais pas le détail, mais 1 est continue, exponentielle est continue, on a les exponentielles ici, une fonction affinée des exponentielles, donc c'est continue. Donc la limite de f²x ici en 0 par valeur positive, donc on a besoin que de la valeur positive, parce qu'on a l'inégalité stricte ici dans ce cas là, mais elle est déjà continue à gauche en 0 à cause de cette inégalité large. Et donc c'est égale à la limite de α exponentielle de moins x, β exponentielle de x, γ x exponentielle de x, moins exponentielle de moins x, et cette limite est égale à α plus β. Donc f est continue en 0, c'est seulement si α plus β égale à 1. Donc là on a une première relation sur α et β. Maintenant, la limite de f²x en 1 moins, donc on va vérifier la continuité dans le deuxième point de rupture, c'est-à-dire en 1, et là c'est par valeur positive, on a déjà la continuité grâce à l'inégalité large, donc on a déjà la continuité à droite en 1. Ainsi, cette limite est égale à α sur E plus β sur E plus γ E moins 1 sur E. Et donc f est continue en 1, c'est seulement si α sur E plus β sur E plus γ E moins 1 sur E est égale à E. Donc là on a deux relations, donc ça veut dire que f est continue, c'est seulement si α plus β égale à 1, elle est continue en 0 et elle est continue en 1, parce qu'elle est déjà continue sur R privé de 0 et 1. Donc là on a un système, et donc on va résoudre ce système, donc on utilise la ligne 1 comme notre pivot, et on associe à la ligne 2 la ligne 2 moins la ligne 1, donc on soustrait la ligne 1 à la ligne 2. Alors là, ne pas oublier surtout de soustraire ici, là c'est facile, on le porte toujours au côté gauche de l'équation, ne pas oublier de soustraire aussi le côté droit, on l'oublie souvent, en tout cas moi je me rappelle que je l'oubliais souvent, et donc souvent on peut se tromper sur ce genre de choses et trouver des résultats complètement faux. Donc ne pas oublier de soustraire ici. Donc quand on soustrait ou additionne des lignes entre elles, ou on les soustrait avec des coefficients, les systèmes restent équivalents, donc on peut mettre des équivalences ici. Donc on a ici finalement, là si on simplifie cette équation, on divise par E²-1, ici qui est différent de 0, on a α plus β égal à 1 et γ plus β égal à 1, et en fait là on a une infinité de solutions, parce que c'est un système à 3 inconnus et on a 2 équations, donc c'est attendu. Donc là on réorganise, on dit que β est égal à 1 moins γ et α est égal à γ, parce que vu qu'on a une infinité de solutions, on va tout exprimer en fonction d'une des variables, donc ici γ. Donc f est continu pour α, β, γ appartiennent à l'ensemble x, 1-x, x pour x appartenant à R, parce que γ est égal à γ, ce que nous dit le système, β est égal à 1 moins γ, et α est égal à γ, donc x, 1-x, x, et γ lui est libre, il peut parcourir R. Donc ça nous donne cet ensemble. Ainsi on a l'ensemble des points pour lesquels f est continu pour l'ensemble de ces valeurs-là, de α, β à γ. Voilà, c'est la fin de cet exercice et on se dit à une prochaine fois !

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