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Analyse

Méthodes avancées sur la continuité en un point

Dans cette vidéo, nous étudions le prolongement par continuité de fonctions contenant des sinus et des cosinus. Nous commençons par examiner la fonction f2x = sin(x) * sin(1/x), qui n'est pas définie en 0 et -1. Nous constatons que sin(1/x) n'a pas de limite en 0, mais sin(x) est borné. Ainsi, f est continue sur l'intervalle réel positif, et f peut être prolongée par continuité en 0 en définissant f(x) = 0.

Ensuite, nous examinons la fonction g(x) = cos(x) * cos(1/x). Nous avons déjà vu que cos(1/x) n'a pas de limite en 0, et en démontrant que les limites de deux suites u et v, qui tendent toutes deux vers 0, sont différentes lorsque nous les appliquons à g, nous concluons que g n'a pas de limite en 0. Par conséquent, g ne peut pas être prolongée par continuité en 0.

Finalement, nous étudions la fonction h(x) = sin(x+1) * ln|1+x|. Nous examinons la limite de h(x) lorsque x tend vers -1 et constatons qu'elle est indéterminée. Pour résoudre cette indétermination, nous utilisons l'astuce de poser u = x+1, ce qui nous permet de réécrire h(x) en termes de sin(u) et ln|u|. Nous utilisons ensuite les connaissances sur les limites du sinus et du logarithme en 0 pour déterminer la limite de h(x) lorsque x tend vers -1. En utilisant la croissance comparée, nous concluons que la limite de h(x) est égale à 0. Par conséquent, h peut être prolongée par continuité sur l'ensemble des réels en définissant h(x) = 0 lorsque x = -1.

Ceci conclut l'exercice sur les prolongements par continuité des fonctions avec des sinus et des cosinus à l'intérieur.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo pour un exercice sur les prolongements par continuité de fonctions avec des sinus et des cosinus à l'intérieur. Donc ici on va étudier le prolongement par continuité. Est-ce que ces fonctions sont prolongeables par continuité à r'entier ? Donc en fait on remarque ici c'est des fonctions continues qui ne sont pas définies en 0, 0 et moins 1. Donc f2x d'abord qui est égale à sinx fois sin1 sur x, c'est x différente de 0. Donc déjà, est-ce qu'elle va être prolongeable par continuité ? Sin1 sur x ça fait quoi ? Sin1 sur x ça n'a pas de limite en 0 mais sinx est égale à 0, donc 0 fois pas de limite parce que c'est pas de limite mais c'est borné parce que sin1 sur x en 0 ça va beaucoup d'oscillations comme ça et quand ça va s'éloigner de 0, c'est les oscillations qui vont s'écarter. Et donc ces oscillations ici sont bornées donc la limite en 0 va pouvoir les écraser. Donc c'est ce qu'on va marquer, f est continue sur r étoile, donc de plus, quel que soit x appartenant à r étoile, on a que valeur absolue de sinx est inférieure ou égale à x, donc ça c'est bien une inégalité à connaître, et que sin1 sur x ici est borné donc on dit que c'est inférieur ou égal à 1. Valeur absolue de x tend vers 0 quand x tend vers 0, donc f de x tend vers 0 quand x tend vers 0, ainsi f est prolongeable par continue à r par f chapeau, qui à x associe f de x si x défait en 0 et 0 si x est égale à 0. Ok donc on encadre et on passe à la question suivante. Donc là la question suivante c'est la même, la question, la forme, pardon, la fonction g est égale à cos x cos1 sur x, donc c'est la même fonction que la fonction f mais avec des cos à la place. Donc on avait vu que cos1 sur x n'avait pas de limite en 0, voilà, instructivement. Mais cos1 sur x c'est la même chose, sauf que le problème c'est que cos1 sur x ça ne tend pas vers 0, ça tend vers 1 en 0, et donc ça ne va pas pouvoir écraser ces oscillations. Donc on va essayer de prouver qu'elle n'a pas de limite en 0. Voilà, au brouillon, et donc ça c'est au brouillon, et on considère les suites u et v, donc la manière ultime de prouver que ce n'a pas de limite c'est de considérer deux suites et de montrer que ces deux suites n'ont pas la même limite. Deux suites qui tendent vers 0, mais ces deux suites n'ont pas la même limite une fois qu'on a pris leur image par la fonction g. Donc on les définit par un est égal à 1 sur 2 pi n, et vn est égal à 1 sur 2 pi n plus pi sur 2, voilà. Vn et un convergent vers 0, mais on n'a que g de un est égale à cosinus de un fois cosinus de pi, donc c'est égal à cosinus de un, donc ça tend vers 1, parce que un tend vers 0, donc ça tend vers 1 quand n tend vers plus infini, et g de vn c'est égal à cosinus de vn fois cosinus de pi n plus pi sur 2, donc 2 pi n plus pi sur 2 c'est égal à, ça fait cosinus égal à 0, donc c'est égal à 0, donc ça tend vers 0 quand n tend vers plus infini. Les limites sont différentes, donc ça contredit l'existence de la limite en 0, donc je n'admets pas de limite en 0, et n'est donc pas prolongeable par continuité en 0, voilà. On encadre, et on passe à la question suivante. Donc la fonction h ici, qui est égale à sinus x plus 1 fois le gamma m de 1 plus x, c'est x différent de 1, de moins 1, donc déjà on va étudier, voir qu'est-ce que cette limite en moins 1, elle peut être. Donc h, elle est continue sur r privé de moins 1, et h de x ici, quand x tend vers moins 1, sinus x tend vers 0, et le gamma m de valeur absolue de 1 plus x, ça tend vers moins l'infini quand x tend vers moins 1. Donc, parce que 1 plus x, ça tend vers 0. Donc c'est une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination, là on a du sinus et du gamma m, donc c'est des fonctions usuelles, mais les fonctions usuelles, les limites, on les connaît bien en 0. Donc on va poser u égale x plus 1, et comme ça, on ramène la limite en 0, donc la limite en u. Donc h de x est égale à sinus de u, et gamma m de valeur absolue de u. Et en fait, du coup, l'astuce, c'est de faire apparaître du sinus u sur u, dont on connaît la limite, ça tend vers 1. Voilà, ça c'est bien à connaître, par cœur. Et après, maintenant, on n'a plus que du u, le gamma m de valeur absolue de u, et ça, par croissance comparée, on connaîtra sa limite. Donc ça, ça tend vers 1 quand x tend vers moins 1, et u, le gamma m de valeur absolue de u, ça tend vers 0 quand x tend vers moins 1, par croissance comparée, parce que u veut tendre vers 0, et le gamma m de u veut tendre vers moins l'infini, mais le logarithme est toujours plus faible que la fonction affine. Donc, par croissance comparée, c'est la fonction affine qui l'emporte, donc ça tend vers 0, et donc ainsi, la forme n'est plus indéterminée, et limite de h de x quand x tend vers moins 1 est égale à 0. Donc h est prolongeable par continuité sur R, par h chapeau, qui va de R dans R, et qui associe h de x, si x est différent de 0, et 0 si x est égal à 0. Voilà, c'est la fin de cette exercice, et on se dit à la prochaine fois !

Prolongements par continuité de fonctions cosinus et sinus

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