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Dérivabilité, C1 et monotonie

Dans cette vidéo, nous avons abordé un exercice classique en mathématiques qui consiste à démontrer trois inégalités importantes. La première inégalité à démontrer est que pour tout x supérieur ou égal à 0, le sinus de x est inférieur ou égal à x. En étudiant les variations de la fonction sinus de x moins x, nous montrons que cette fonction est décroissante et atteint son maximum en 0. Ainsi, nous concluons que pour tout x dans R+, le sinus de x est inférieur ou égal à x.

La deuxième inégalité à démontrer est que pour tout x appartenant à R, l'exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x. Nous utilisons le fait que la fonction exponentielle est convexe pour montrer que sa courbe se situe au-dessus de sa tangente en 0, qui est x plus 1. Par conséquent, pour tout x dans R, l'exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x.

Enfin, la dernière inégalité à démontrer est que pour tout x dans (-1, +∞), le logarithme népérien de 1 plus x est inférieur ou égal à x. En utilisant le fait que la fonction ln de 1 plus x est concave, nous montrons que sa courbe se situe en-dessous de sa tangente en 0, qui est x. Ainsi, pour tout x dans (-1, +∞), ln de 1 plus x est inférieur ou égal à x.

Ces inégalités sont classiques et importantes à maîtriser, et vous les utiliserez fréquemment en prépa et même dans votre vie.

Salut à tous et bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice vraiment classique et vraiment important à maîtriser pour tout élève de prépa. Vous allez me dire qu'Aurentin, tu nous dis à chaque fois la même chose, ces exercices sont toujours classiques et importants à maîtriser. Je sais. Mais là, je ne rigole pas. Il est vraiment, vraiment, vraiment important à connaître. Alors, cet exercice, quel est-il ? Il nous demande de démontrer les inégalités classiques suivantes. Et j'insiste sur « classiques » parce que ces inégalités, vous allez vous en servir tout au long de votre prépa, voire de votre vie. Et je n'exagère pas. La première, ça va être de montrer que pour toute x supérieure ou égale à 0, sinus de x est inférieure ou égale à x. La seconde, ça va être de montrer que pour toute x appartenant à R, exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x. Et la dernière, de montrer que pour toute x dans –1 plus l'infini, ln de 1 plus x est inférieure ou égale à x. Commençons tout de suite. Alors, pour montrer que sinus de x est inférieure ou égale à x, ce que je fais, c'est que je pose la fonction qui a x associé sinus de x moins x. Et là, vous vous en doutez, mon but, ça va être de montrer que cette fonction est positive ou négative en détériorant l'inégalité en fonction. Ce que je fais, c'est que j'étudie ces variations. Pour toute x dans R+, j'ai f' de x qui vaut –cos x –1. Et ça, c'est inférieure ou égale à 0 pour toute x dans R+. Donc f est décroissante. Elle atteint donc son maximum sur R+, en 0. Or, en 0, elle vaut –sin 0 –0. Et ça, ça vaut 0. On en déduit donc que pour toute x dans R+, –sin x –x est inférieure ou égale à 0. Et que donc, pour toute x dans R+, –sin x –x est inférieure ou égale à x. Voilà. Vous savez, ce n'est pas si compliqué que ça à démontrer, mais c'est vraiment des inégalités qui doivent vous venir en tête lorsque vous rencontrez des fonctions de ce type. Passons à l'inégalité suivante, qui est de montrer que pour toute x dans R, exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x. Alors, la fonction exponentielle est convexe sur R. Par définition, sa courbe se situe donc au-dessus de cette tangente. Et oui, elle a cette tête-là. Donc peu importe la tangente que je dessine, –je dessine très mal, mais hop– elle va se situer au-dessus de cette tangente. En particulier, au-dessus de sa tangente en 0, qui est celle-ci. Sauf que sa tangente en 0, c'est exponentielle prime de 0 fois x moins 0 plus exponentielle de 0. Et ça, qu'est-ce que c'est ? Ça vaut x plus 1. On en déduit donc que pour toute x dans R, exponentielle de x est supérieure ou égale à x plus 1. Ici aussi, pour ln de 1 plus x, c'est un argument de convexité, concavité, etc. Vous allez voir. On sait que la fonction x dans ln de 1 plus x est concave, cette fois-ci, sur moins 1 plus l'infini. Sa courbe se situe donc en-dessous de cette tangente. En effet, elle a cette tête-là. Et peu importe les tangentes que je dessine, la courbe se situe en-dessous des tangentes. En particulier, encore une fois, elle est en-dessous de sa tangente en 0. Sauf que sa tangente en 0, qu'est-ce qu'elle vaut ? Elle vaut x, si vous faites le calcul. On en déduit donc que ln de 1 plus x est inférieur ou égal à x. Merci à tous.

Inégalités classiques !

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