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Analyse

Dérivée seconde et convexité

Le cours présente la notion de point d'inflexion dans le contexte des fonctions dérivables. Un point d'inflexion est défini comme un endroit où la courbe d'une fonction traverse sa tangente, correspondant à un changement de comportement entre concavité et convexité. Il est également noté que le point d'inflexion correspond à un point de pente maximale de la tangente, où la pente devient la plus négative en valeur absolue. De plus, le cours rappelle que la convexité d'une fonction est liée à la positivité de sa dérivée première, tandis que la concavité est liée à la négativité de sa dérivée première. Enfin, il est souligné qu'un point d'inflexion implique un changement de signe de la dérivée seconde, mais que l'inverse n'est pas toujours vrai, comme illustré par des exemples.

Dans cette vidéo, on va présenter la notion de point d'inflexion. Alors laissez-moi revenir ici. Un point d'inflexion, donc on va définir ça. Soit f, une fonction deux fois dérivable, donc toujours la même définition, avec des fonctions qui fonctionnent bien sur un intervalle i, cf, sa courbe, etc. Pour un point a quelconque, on définit la tangente au point a, ta. Donc la tangente à la courbe f au point a. Très bien. On dit que a, très important, on dit que a est un point d'inflexion pour la courbe si au point a, la courbe cf traverse ta. La vraie définition du point d'inflexion c'est un endroit où la courbe traverse la tangente, un endroit où, si vous voulez avec le corollaire qui est ici que je fais maintenant, un endroit où la dérivée seconde change de signe. Je vais donc vous montrer à quoi ça correspond sur un dessin. Ce sera peut-être plus facile que de parler comme ça. Ici on retrouve ma fonction x3 que j'ai beaucoup utilisée dans ce chapitre. Alors qu'est-ce qu'elle a cette fonction x3 ? Déjà on a l'impression qu'il y a plusieurs zones. Une zone où elle est concave, ici. La tronche c'est concave et une zone où elle est contente. L'espèce de sourire c'est convex. On a défini ça de deux manières. Originellement, la définition la plus fondamentale c'est quand on est au-dessus de ces sécantes, comme ici par exemple, on appelle ça concave. Quand on est en dessous de ces sécantes, par exemple un point ici par exemple, et un point ici, on voit que la sécante est au-dessus de la courbe, on appelle ça convex. Puis on a vu pour les fonctions dérivables, on peut aussi non pas comparer la position de la courbe aux sécantes, mais la position de la courbe aux tangentes. Alors là ça s'inverse. C'est-à-dire que là, c'est vrai qu'on est au-dessus des sécantes, des cordes, mais par contre, si je m'amuse à tracer une tangente, comme ici par exemple, ici, je vois que je suis en dessous de la tangente. C'est différent, mais visuellement on le comprend. Ce n'est pas la même chose, c'est au-dessus des sécantes, pour concave, en dessous de la tangente. Pour convex, c'est au-dessous des sécantes, mais au-dessus des tangentes. Donc voilà, revenons là-dessus, regardons un peu les tangentes. Là, la tangente, ce que je vois, c'est qu'elle est au-dessus, donc c'est bien concave, c'est bien, je suis content. Et là-bas, je suis en dessous, donc c'est bien convex. Donc on voit bien qu'il y a un point où il se passe quelque chose, qu'on passe de au-dessus à en dessous, il y a une transition. Et c'est à cette transition, donc ce changement de comportement entre concavité et convexité, ou convexité et concavité selon les fonctions, ça peut être dans un sens ou dans l'autre, la petite colline là, c'est ça qu'on va appeler un point d'inflexion. C'est l'endroit où on passe d'un comportement concave, ici, à un comportement convex. Il y a un point précis où ça arrive, et en ce point, on peut voir que la tangente, elle est à la fois au-dessus de la courbe à gauche, côté concave, et à la fois en dessous de la courbe à droite, le côté convex. Et si on observe, si on imagine dans notre tête que là, la tangente est fixée, on voit que la courbe va venir en effet traverser la tangente. C'est ça qu'on voulait dire dans la définition du point d'inflexion. Un truc intéressant, c'est qu'une implication de ça, c'est qu'en fait, le point d'inflexion est en effet un point de pente maximale de la tangente. C'est un maximum en valeur absolue. Par exemple là ici, vers le bas, tout à gauche, vers moins l'infini, la pente tend vers plus l'infini, elle est quasiment verticale parce que la fonction descend très vite. Je ne parle pas de ça. Là j'arrive, je suis très positif, et je décroche, décroche, décroche, décroche, décroche, ma pente là est zéro. Zéro. Puis elle devient négative. Donc ma pente n'arrête pas de décroître. Elle décroît, elle décroît, elle décroît, elle devient très négative au point d'inflexion dont on parlait. Et elle a l'air de devenir moins négative après, puis de remonter. Et donc c'est intéressant parce qu'on se rend compte que le point d'inflexion, ça correspond à un point où en valeur absolue en tout cas, la pente est la plus importante. C'est là qu'elle est le plus négative. Avant elle était vers zéro, elle est négative et elle remonte vers zéro. Ça sera aussi une manière de voir le point d'inflexion. J'espère que vous comprenez donc que c'est ce point où il y a un changement de comportement entre concavité et convexité, et aussi le point où on traverse, où la courbe traverse la tangente. Dernier petit point, je voulais absolument revenir et refaire un bilan pour marquer un peu les esprits, refaire un bilan très clair. On peut dire que si f est deux fois dérivable sur i, f va être convex, si et seulement si, f' est croissante, et si et seulement si, f' est positive. Vous pouvez vérifier ça avec le petit dessin ici, pour vérifier le comportement de f', quand la tangente passe de très négatif à positif, f' est en train d'augmenter, c'est vrai que c'est convex. De la même manière, f est concave, si et seulement si, f' est décroissante, si et seulement si, f' est négative. C'est un peu un bilan de ce qu'on a vu dans les deux, trois dernières vidéos. Sur les points d'inflexion, énorme erreur à éviter. On appelle le point d'inflexion un point où f' change de signe. C'est aussi un point où f' change de variation. Ces deux définitions-là sont parfaitement équivalentes. C'est un point où la dérivée seconde change de signe, c'est un point où les dérivées simples changent de variation, passent de croissante à décroissante, ou de décroissante à croissante. Donc on pourra dire qu'un point d'inflexion, ça implique f'' de x qui est égal à zéro. Très bien. Mais attention, f'' de x égal à zéro n'implique pas un point d'inflexion. Ça c'est faux. Par exemple, un point comme ça, ça sera le point zéro pour la fonction x puissance 4. De même manière que celui-ci, donc là c'est f'' égal à zéro à cet endroit-là, de la même manière ici, f'' égal à zéro. En effet c'est x puissance 4. On va la dériver deux fois, ça fait 4x3, et ça fait donc 12x². Très bien. En ce point, on a f'' égal à zéro. f'' de zéro égal à zéro. Pour autant, ce n'est pas un point d'inflexion parce qu'il n'y a pas de changement de comportement, de concavité à convexité. La convexité, elle est toujours convexe. Il n'y a donc pas de changement de comportement de la pente. f' ne fait qu'augmenter, parce que f' est très négative, augmente, augmente, augmente, augmente, jusqu'à devenir nulle ici, puis elle augmente en devenant positive. Donc f' ne change pas de variation, elle ne fait qu'augmenter, elle n'est que croissante. Ce n'est pas un point d'inflexion. Pour autant, dans les deux exemples, on a bien f'' de x égal à zéro. C'est juste pour insister là-dessus. J'espère que c'était très clair. Je vais vous laisser, c'était une longue vidéo, je voulais bien insister sur certains éléments. S'il y a des questions supplémentaires, bien sûr, c'est dans le forum. Et je vous dis à la prochaine.

Point d'inflexion

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