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Dérivée seconde et convexité

Dans ce cours, on étudie les propriétés graphiques d'une fonction et leur lien avec sa dérivée seconde. Si f'' (la dérivée seconde de f) est positive sur l'intervalle i, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes. Cela rappelle la définition de la convexité, où la courbe est au-dessus de ses cordes.

La démonstration de ce fait commence par une introduction, qui indique les hypothèses de départ et ce qu'on veut montrer. Ensuite, on met tout du même côté pour simplifier l'expression, puis on pose une fonction qui compare la courbe et la tangente au point a. On étudie cette fonction, en montrant qu'elle est dérivable et en cherchant le signe de sa dérivée. Puis, on utilise le fait que la dérivée seconde est positive pour conclure que la dérivée est croissante. Enfin, on fait un tableau de variation de la fonction pour montrer qu'elle est toujours positive ou nulle. Cela prouve que la courbe est au-dessus de la tangente.

Pour bien comprendre cette démonstration, il est important de reprendre chaque étape et de savoir les réécrire sans aide. Cela permet de maîtriser parfaitement le sujet.

Cette vidéo est un petit peu la suite de la vidéo précédente. Cette fois-ci, on va se pencher un peu plus sur des propriétés graphiques et le lien entre f'' et convexité. Alors, si f est une fonction supposée de deux fois dérivable, alors on peut parler de f'' ou de f'', telle que sa dérivée seconde existe, donc qui s'appelle f'', je vais plutôt dire ça. Si f'' est positive sur i, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ces tangentes. Alors, vous allez voir ici, ça nous rappelle un peu la définition de la convexité et concavité, mais nous, ce qu'on avait vu, c'était la courbe est au-dessus de ces cordes ou de ces séquentes. Là, c'est autre chose, on est au-dessus des tangentes. On va le démontrer, la démonstration est au programme, donc je vous invite à me rejoindre pour la démonstration. J'ai remis ici le texte du théorème qu'on démontre. Alors, pour la démonstration, ça va être simple, on va déjà faire une première étape qui est l'introduction. C'est un peu pour moi une manière de vous montrer l'architecture de la démonstration, ou un peu l'échafaudage qu'il faut construire tout le temps pour vous sur votre paye. Donc, l'idée c'est toujours de bien écrire quelles sont les hypothèses, le point de départ, et vers quoi on veut arriver. Souvent, en fait, juste bien établir ce que sont les hypothèses de départ et quelle est la chose qu'on veut montrer vous permet de bien vous concentrer et de ne pas faire d'erreur. Ça, c'est un peu notre brouillon, donc. Ce que vous devez écrire au brouillon pour comprendre, c'est tout ce que je vais mettre là. On va utiliser le fait qu'on nous dit que la dérivée de seconde est positive. On peut traduire ça, quelle que soit x sur l'intervalle, f seconde de x est positive ou nulle. C'est en vert, donc je mets en rouge ce qu'on veut montrer. Ce qu'on veut montrer, c'est que la courbe représentative de f, on va l'appeler grand C majuscule f, est au-dessus de cette tangente. Donc, pour un a sur l'intervalle i, on veut montrer que la courbe représentative de f, cf, est au-dessus de T indice a, la tangente au point a. Si je fais un petit dessin, hop, ici j'ai f en bleu et j'ai la tangente en a en rouge. Ça va vous rappeler ça des cours de première où on faisait la définition de la tangente et on mettait toujours un peu une tangente comme ça. Donc, ça donne quoi mathématiquement ? On va se rappeler l'équation de la tangente notamment. Je veux que, quelle que soit x appartient à i, la valeur de ma fonction f, qui est la courbe et au-dessus, la valeur de la fonction f en un point x, donc f2x, doit être au-dessus de la même valeur, mais sur la tangente. Ça veut dire que je veux comparer et la courbe d'un côté pour un x donné et la tangente. Or, l'équation d'une tangente, c'est quoi ? C'est f' de a fois x-a plus f2a. Donc, l'équation de cette tangente rouge ici, c'est pente f' de a, coefficient directeur f' de a, et ensuite fois x-a plus f2a. Un petit réflexe général, donc là je vous donne un peu la méthode pour démontrer une inégalité. Déjà, on met tout du même côté, premier point. Tout du même côté, ça veut dire, s'il faut, on fait moins tout le terme de droite, comme ça on se retrouve avec 0 à droite, et puis un truc complet à gauche. Ensuite, on pose une fonction. C'est-à-dire que tout l'ensemble qui va être à gauche, on va l'appeler, je ne sais pas, g2x, f2x, on pose une fonction. Et ensuite, on fait l'étude. Et quand on fait l'étude de cette fonction, on espère pouvoir montrer qu'elle a toujours le même signe, par exemple. Laissez-moi illustrer, ce sera beaucoup plus facile. Si, je reviens ici. Vous pouvez voir, c'est la démonstration en tant que telle. Petit 1. Petit 1, la première étape, c'est mettre tout du même côté. Donc on avait f2x supérieur ou égal à ce truc-là, je mets tout du même côté en faisant moins ce truc-là. Comme ça, de l'autre côté, je n'ai plus que supérieur ou égal à 0. Deuxième étape, posons une fonction. Donc je pose phi indice a de x, phi parce que f était déjà pris, donc j'ai mis une grand phi grec, c'est-à-dire le f grec, si vous voulez. Indice a, parce que je suis au point a, je prends la tangente au point a. Donc f2x moins la valeur de la tangente au point x considéré. Très bien. Petit 3, étudions cette fonction. C'est parti, on va montrer que phi a est dérivable, en effet, f est dérivable, et ça, c'est une droite. Cette chose-là, cette équation, c'est une équation de droite du premier degré, c'est un genre de ax plus b, donc c'est dérivable. Comme phi est dérivable, on peut écrire phi prime de a égal, f prime de x facile. La deuxième étant une droite affine, on n'a plus que le coefficient directeur, qui est donc f prime de a. Donc, je vais pouvoir dire, quand je fais mon étude de fonction, je dois vérifier quand est-ce que ma dérivée est positive ou nulle pour faire un tableau, un tableau avec le signe de la dérivée, puis un tableau en dessous, la deuxième étape, avec les variations de la fonction. Donc je vais dire, phi a prime de x est positif ou nul, si et seulement si, ce truc-là est positif ou nul. Si et seulement si, f prime de x est plus grand que la f prime de a. Très bien. Or, qu'est-ce qu'on nous a dit ? On m'a dit que f seconde, donc f prime prime, est positive. Mais si f prime prime est positive, c'est-à-dire que c'est la dérivée de f prime. Mais si la dérivée d'une fonction est positive, c'est-à-dire que la fonction dont on parle est croissante, f prime prime étant la dérivée de f prime, alors f prime est croissante vu qu'f prime prime est positive. Ça c'est très bien, parce que f prime prime étant croissante... Pardon, f prime étant croissante, je peux conclure, à partir de la dernière inégalité qu'on écrit ici, je vais pouvoir conclure facilement, alors laissez-moi passer à la suite, que la dérivée, phi indice a prime de x, est positive ou nul, si et seulement si, petit x supérieur ou égal à grand a. En effet, la fonction f prime étant croissante, j'aurais f prime de x plus grand ou égal à f prime de a, si et seulement si, petit x est plus grand ou égal à a. C'est la définition de la croissance d'une fonction. Et donc, je peux enfin tracer mon petit tableau de variation. Voilà mon tableau de variation de phi. Phi prime, on a dit que c'était nul en a, positif au-dessus. Si c'est positif au-dessus de a, forcément c'est négatif en dessous. Et comme il y a un supérieur ou égal, on voit que si je mets 0, c'est bien quand x vaut a que la dérivée vaut 0. C'est donc une fonction décroissante, puis une fonction croissante. Elle décroît jusqu'à a et elle croît après a. Très bien. On va regarder ce qu'il se passe au point a. Donc si vous voyez, là je n'ai pas encore mis la valeur, on va s'interroger sur quelle est la valeur de phi en a. Mais qu'est-ce qu'il se passe en a si vous vous rappelez ? En a, c'est le point où la courbe et la tangente se touchent. On a dit qu'on considérait la tangente en a. C'est-à-dire que la fonction f et la tangente ont la même valeur vu que c'est là qu'il y a un point de tangence entre les deux. C'est exactement le même point qui appartient à la courbe et à la tangente. Donc, phi de a, vu que c'est là qu'il y a la valeur en f, la valeur sur la fonction f, moins la valeur sur la tangente, ce sont les mêmes en ce point-là, on sait que phi de a vaut 0. Donc on est content, parce que là on voit dans le tableau de relation, qu'est-ce qu'on voit ? On a une fonction qui descend, descend, descend, elle vaut 0 tout en bas, et elle remonte. Là j'ai conclu que, quel que soit x appartient à i, grand phi de x était positif ou nul. La démonstration est terminée. Alors si vous n'êtes pas sûr, il faut que je remonte pour vous montrer pourquoi est-ce que la démonstration est terminée. C'est parce que, notre but c'était de montrer que f de x était toujours au-dessus de cette chose-là. Soit que f de x moins ça, c'était positif. Et donc ça, c'était de montrer que phi de a était positif, ce qu'on a fait avec l'étude de fonction. Voilà pour la démonstration, j'espère que c'était clair. Essayez de bien la reprendre, voir bien les étapes une par une, le PDF sera disponible, et vous avez vu, j'ai bien décomposé pour expliquer les différentes étapes. Bien maîtriser cette feuille, à partir d'une feuille blanche, savoir reprendre chacune des étapes, bien comprendre la logique, savoir les réécrire, c'est vraiment très important ici. Et ça va un peu déterminer si vous avez bien saisi ce qui se passe, d'être capable de ressortir tout ça à partir de rien. Donc tant que vous n'êtes pas capable, ça peut prendre le temps qu'il faut, ça peut prendre le temps de recommencer, réessayer, mais tant que vous n'êtes pas capable de sortir cette démonstration étape par étape, proprement, avec potentiellement la rédaction de votre prof, s'il y a des choses qu'il préfère par rapport au mien, bien sûr. Mais tant que vous n'êtes pas capable de la ressortir entièrement sur une feuille blanche, vous ne la connaissez pas vraiment.

Démo au programme : convexité et f''

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