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Analyse

Dérivée seconde et convexité

Dans cette leçon, nous abordons la méthode de la convexité. Il s'agit d'une approche classique, mais extrêmement utile une fois que l'on maîtrise son étude. 

Nous commençons par examiner une fonction f(x) = x³ - 2x². Comme il s'agit d'un polynôme, il est dérivable deux fois sans problème. Nous calculons ensuite ses deux dérivées : f'(x) = 3x² - 4x et f''(x) = 6x - 4. 

Notre objectif est d'étudier le signe de f''(x). Nous résolvons l'inéquation 6x - 4 > 0, ce qui nous donne x > 3/2. En revanche, si f''(x) < 0, cela signifie que x < 3/2. Nous en déduisons donc la concavité et la convexité de la fonction f : f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2[ et convexe sur l'intervalle ]3/2, +∞[.

Ensuite, on nous demande de trouver l'équation de la tangente à la courbe de f au point x = -1. Nous appliquons les formules appropriées : l'équation de la tangente au point x = -1 est f'(-1) * x - (-1) + f(-1). Suite à nos calculs précédents, nous trouvons que f'(-1) = 7 et f(-1) = -3. Ainsi, l'équation de la tangente est y = 7x + 4.

Enfin, on nous demande de prouver que pour tout x négatif, x³ - 2x² < 7x + 4. Nous constatons que 7x + 4 est l'équation de la tangente que nous avons précédemment trouvée, et x³ - 2x² est équivalent à f(x). En analysant géométriquement cette inégalité, nous concluons que la courbe de f est située en dessous de sa tangente lorsque f est concave. Comme nous avons prouvé précédemment que f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2[, nous pouvons affirmer que cette inégalité est vraie pour tout x négatif.

Il est essentiel de comprendre le concept de convexité lors de la résolution de ce problème. Si nous ne l'appliquons pas, nous nous retrouverons avec une équation de degré 3, ce que nous ne savons pas résoudre. La méthode de la convexité est donc indispensable.

N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.

On va regarder une autre méthode sur la convexité. Encore une fois, c'est assez classique. Une fois qu'on maîtrise l'étude de la convexité, franchement, c'est quelque chose à dérouler assez rapidement parce que la méthode, c'est à chaque fois la même et les conclusions sont les mêmes. On va revoir ça tranquillement pour être sûr que tout est bien maîtrisé. Alors, on nous propose une fonction f de x égale x au cube moins 2x². Ici, ok, très bien. C'est un polynôme, donc c'est bien dérivable deux fois, pas de problème. Je calcule mes deux dérivés. J'ai f' de x qui vaut 3x² moins 4x et f'' de x qui vaut 6x moins 4. Moi, ce que je veux, c'est étudier le signe de f'' de x. Je résout 6x moins 4 supérieur à 0, ça veut dire que x supérieur à 3 demi. Et dans le cas contraire, f'' de x inférieur à 0, ça veut dire que x est inférieur à 3 demi. Du coup, j'en déduis la concavité et la convexité. f est concave sur moins l'infini 3 demi et f est convexe sur 3 demi plus l'infini. Donc ça c'est bon, je sais maintenant que j'ai étudié la convexité. Ensuite, on me demande l'équation de la tangente de f en moins 1. Rien de plus simple, j'applique mes formules. Je sais que l'équation de la tangente en moins 1, c'est f' de 1 fois x moins moins 1 plus f de 1. On ne se plante pas sur le signe, moins moins 1 ça donne plus. f' de 1, je le calcule juste avant, ça fait 7. F' de moins 1 qui vaut 7. f' et f de moins 1, ça vaut moins 3. J'additionne tout ça et je me retrouve avec 7x plus 4. Mon équation de tangente, c'est y égale 7x plus 4. Ensuite, on me demande d'en déduire que pour toute x négative, x au cube moins 2x carré inférieur à 7x plus 4. Là, il faut bien analyser le truc. Je vois 7x plus 4, c'est ce que je viens de trouver. Je vois que c'est l'équation de la tangente, et x au cube moins 2x carré, c'est f. Par simple analyse, ce que je vois, c'est que l'interprétation géométrique de cette inégalité, c'est que cf est en dessous de sa tangente. Dans quel cas on a ça ? Quand la fonction est concave. Ça tombe bien, on vient de montrer qu'elle est concave sur l'intervalle sur moins l'infini 3,5. Donc, R- est inclus là-dedans, c'est moins l'infini 0. Sur cet intervalle-là, la cf sera en dessous de cette tangente parce qu'elle est concave, et donc j'ai bien l'inégalité voulue. Je vous montre un exemple avec la courbe, elle ressemble à ça, cf. J'ai tracé une tangente parmi toutes celles possibles, et on voit bien qu'elle est toujours en dessous de ces tangentes. Sur R-, on pourrait avoir un cas, si on prend la tangente par là, elle va passer au-dessus, mais ça ne nous concerne plus parce qu'on n'est plus sur R-, on est sur R+, un intervalle où elle n'est pas concave. Elle devient convexe à partir de 3,5. En tout cas, sur R-, pas de problème. Pour cette méthode, cf est située en dessous de toutes ces tangentes sur l'intervalle considéré, sur R-, en particulier la tangente en moins 1 dont on a donné l'équation, donc je peux conclure que j'ai x³-2x² qui est inférieur à 7x7. Là, il faut absolument penser à la convexité, parce que si on ne voit pas ça, qu'on prend l'équation telle qu'elle, c'est une équation avec un polynôme de degré 3, et ça, on ne sait pas résoudre. On sait faire un degré 2, mais un degré 3, on ne sait pas faire. Et vous ne saurez jamais faire. Même en prépa, vous ne saurez pas faire. C'est bien la méthode utilisée, c'est de penser à la convexité. Voilà pour cette petite méthode. Si vous avez des questions, comme d'habitude, je vous invite à aller voir la FAQ. Voilà pour cette méthode.

Convexité et Inégalités

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