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Fonctions cubes et convexité
Ce cours concerne l'étude de la convexité d'une fonction f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D. L'exercice consiste à déterminer dans quels cas la fonction est convexe ou concave. Il s'agit d'un exercice plus avancé mais qui essaie de généraliser les résultats intuitifs sur les fonctions cubiques.
On commence par calculer la dérivée seconde de f(x) et la dérivée de f(x). La convexité de f(x) dépendra du signe de la dérivée seconde (f''(x)) et donc de la valeur de A.
Si A est positif, la fonction affine A*x + 2B est d'abord négative, puis positive. Donc f''(x) sera négative, puis positive. Dans ce cas, la fonction f(x) sera concave, puis convexe.
Si A est négatif, la fonction affine A*x + 2B est d'abord positive, passe à 0, puis devient négative. Donc f''(x) sera positive, puis négative. Dans ce cas, la fonction f(x) sera convexe, puis concave.
Il est important de faire attention à la distinction des cas et de comprendre le rôle de A dans les calculs. Si on ne tient pas compte du signe de A, on risque de faire des erreurs.
De plus, on remarque que peu importe la valeur de A, la fonction admet un point d'inflexion à x = -B/(3A). Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité.
En appliquant ces résultats à un exemple précis, on peut conclure que la fonction f(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x - 4 admet un point d'inflexion à x = 4/3.
En résumé, cet exercice permet de comprendre la convexité d'une fonction cubique en fonction de la valeur du coefficient A. Il met l'accent sur la distinction des cas et l'utilisation des dérivées pour déterminer la convexité.
