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Analyse

Dérivée seconde et convexité

Dans cet exercice, on utilise la convexité et la concavité pour démontrer certaines inégalités. Tout d'abord, on démontre que pour tout réel X, l'exponentielle de X est supérieure à 1 + X, et même si X est non nul, l'inégalité est stricte. Pour cela, on remarque que 1 + X peut être vu comme l'exponentielle de 0 fois X + l'exponentielle de 0. On reconnaît alors l'équation de la tangente à la courbe de l'exponentielle de X au point (0,1). Comme l'exponentielle de X est strictement convexe, la courbe est au-dessus de cette tangente, et donc E(X) est supérieur ou égal à 1 + X pour tout X réel. Si X est différent de 0, alors E(X) est strictement plus grand que 1 + X.

Ensuite, on démontre que le logarithme de (1 + X) est inférieur ou égal à X. On remarque que le coefficient directeur de la tangente à la courbe de log(1 + X) en 0 est 1, donc la dérivée de log(1 + X) est égale à 1 / (1 + X), et elle vaut 1 lorsque X = 0. Donc l'équation de la tangente en 0,0 est Y = X. En étudiant la convexité de la fonction log(1 + X), qui est strictement concave, on peut conclure que la courbe est en-dessous de cette tangente, ce qui démontre l'inégalité recherchée.

Enfin, on cherche à encadrer sin(X) entre pi/2 et 0 pour X dans l'intervalle [0, pi/2]. On montre que sin(X) est concave dans cet intervalle en calculant sa dérivée seconde qui est -sin(X), et qui est donc négative dans cet intervalle. On démontre ensuite que sin(X) est inférieur ou égal à X en montrant que X est l'équation de la tangente à la courbe de sin(X) en 0. Finalement, on montre que sin(X) est supérieur ou égal à pi/2 en trouvant une corde entre les points (0,0) et (pi/2,1), qui est une droite décroissante. Le maximum de cette droite est atteint en X = 0, et vaut pi/2, ce qui démontre l'encadrement recherché.

Salut ! Dans cet exercice, on va utiliser la convexité, ou la concavité, pour montrer certaines inégalités. Alors, la première, on nous dit de montrer que, pour tout réel X, on a que l'exponentiel de X va être plus grand que 1 plus X. Et même si X est non nul, l'inégalité est stricte. Alors, là, ce qu'il faut... Déjà, ce qu'on va montrer, c'est que, du coup, que E de X est plus grand que 1 plus X. Et en fait, il faut commencer par essayer de chercher un lien. Quel lien il peut y avoir entre E de X et 1 plus X, qui pourrait nous aider à, du coup, établir cette inégalité ? Alors, le lien qu'on pourrait avoir, c'est que, en fait, 1 plus X, on va le voir comme exponentiel de 0 fois X moins 0 plus exponentiel de 0. D'accord ? Parce que l'exponentiel de 0, c'est 1. Et en fait, sous cette forme-là, on reconnaît l'équation de la tangente à la courbe de E de X au point d'abscisse X égale 0. Parce que l'équation... Bon, on se rappelle, l'équation, normalement, on devrait la connaître par cœur. L'équation de la tangente au point d'abscisse A, c'est F prime de A fois X moins A plus F de A. Là, on reconnaît que c'est ce truc-là pour A égale 0. Et du coup, Y égale 1 plus X, c'est l'équation de la tangente à la courbe de E de X en 0, 1. C'est-à-dire au point d'abscisse 0 et au point d'ordonnée E de 0, donc c'est 1. Maintenant, si on voit 1 plus X comme une tangente à la courbe de E de X, il faut aller voir, est-ce que l'exponentiel est concave ou est-ce qu'elle est convexe ? On se rappelle, une fonction convexe va être au-dessus de ces tangentes. Si on regarde les tangentes d'une fonction convexe, la fonction est au-dessus. Et une fonction concave, qui serait comme ça, on voit qu'elle va être en-dessous de ces tangentes. Là, on cherche un lien entre la fonction et ses tangentes. On va regarder la convexité de la fonction E de X. Convexité, on fait la dérivée seconde, on regarde son signe. L'exponentiel, c'est sa propre dérivée. Quand on la dérive deux fois, ça reste l'exponentiel qui est strictement positif. L'exponentiel est strictement convexe. Comme l'exponentiel est strictement convexe, on sait que la courbe de E de X est au-dessus de ses tangentes, et même strictement au-dessus, en dehors du point de contact entre la courbe et la tangente. Finalement, pour tout X qui appartient à R, on a E de X qui est supérieur ou égal à 1 plus X. Le cadre d'égalité étant le point de contact à chaque fois de la tangente. Et si on prend X différent de 0, on a que E de X est strictement plus grand qu'1 plus X. Parce qu'on a dit que 1 plus X, c'était la tangente au point d'abscisse X égale 0, le point de contact étant justement le point où il y a X égale 0, donc c'est le point 0, 1. Donc si on enlève X égale 0, E de X est strictement plus grande qu'1 plus X. Ensuite, il faut montrer que log de 1 plus X est inférieur ou égal à X. On va essayer de faire quelque chose de similaire. X, comme ça, ça ne saute pas aux yeux, c'est l'équation d'une tangente, donc on verra si on peut trouver un lien. Si c'est l'équation d'une tangente, on trouve que le coefficient directeur doit être égal à 1, et le coefficient directeur serait log de 1 plus A prime, donc il faudrait trouver ce que vaut A pour que ça fasse 1. Donc là, la dérivée de log de 1 plus X, c'est 1 sur 1 plus X, et si on veut que ça fasse 1, il faut que X soit égal à 0. Donc finalement, X, c'est 1 sur 1 plus 0, fois X moins 0 plus log de 1 plus 0, log de 1 plus 0, ça fait log de 1, ça fait 0. Donc, Y égale X, c'est l'équation de la tangente à la courbe de log de 1 plus X en 0,0, donc au point d'abscisse, X égale 0. Alors maintenant, on va essayer de faire la même chose pour conclure, on va étudier la convexité de la fonction log de 1 plus X. Donc, si on la dérive deux fois, on a que c'est moins 1 sur X plus 1 au carré, et ça, c'est strictement négatif, parce qu'en dessous, on a un carré qui sera du coup strictement positif, parce que ça ne peut pas s'annuler en dessous, et le moins 1 qui est au-dessus, ça rend la fraction strictement négative. Donc la fonction log de 1 plus X, elle est strictement concave, et comme je le disais précédemment, une fonction concave va être en dessous de ces tangentes, donc finalement, la courbe de log de 1 plus X, elle est en dessous de ces tangentes du coup, et on a l'inégalité souhaitée, étant donné que X, on le voit comme une tangente à la courbe de log de 1 plus X. Alors, pour la dernière question, c'est un peu plus délicat, parce que cette fois-ci, ce n'est pas une simple égalité à montrer, c'est un encadrement, donc il faut encadrer sin de X par pi sur 2, sur 0 pi sur 2. Alors, là, comme ça, ça ne saute pas forcément aux yeux, cet encadrement, à vrai dire, ça ne saute pas du tout aux yeux, donc ce qu'on va essayer de faire, on va le faire en deux temps, on va montrer chacune, chaque inégalité séparément. Donc là, on va étudier pour commencer la convexité de la fonction sin de X, alors la dérivée de sin de X, c'est moins sin de X du coup, parce que quand on dérive, ça fait cos, quand on redérive, ça fait moins sin, et ça, sur 0 pi sur 2, c'est négatif. Donc, étant donné que c'est négatif, la fonction sin de X, elle est concave sur 0 pi sur 2. Alors, étant donné qu'elle est concave, si on voit la première inégalité, donc sin de X inférieur ou égal à X, on va essayer de réfléchir à une tangente, parce qu'on sait qu'une fonction concave, elle va être en dessous de ces tangentes, donc si X, on arrive à le voir comme une certaine tangente, on aura gagné l'inégalité, et dans l'autre sens, pour montrer que sin de X, c'est plus grand que pi sur 2, il faut penser à une corde, une fonction concave, elle est au-dessus de ces cordes, elle est en dessous des tangentes, mais au-dessus de ces cordes, donc si pi sur 2, on arrive à dire que c'est la corde entre tel point et tel point, on aura gagné, on aura montré que sin de X est plus grand que pi sur 2. Alors, c'est parti pour la première inégalité, donc ce qu'on montre, c'est que X, c'est cos de 0 fois X moins 0 plus sin de 0, parce que sin de 0, ça fait 0, cos de 0, ça fait 1, donc finalement, on voit bien ça comme une tangente, donc c'est Y égale X, c'est l'équation de la tangente à la courbe de sin de X en 0, 0, donc au point de la pisce 0. Donc la première inégalité, on l'a montré, étant donné que sin, elle est concave sur 0 pi sur 2, on a sin de X qui va être plus petit que X, qui du coup est l'équation de la tangente en 0, 0, sur 0 pi sur 2. Alors maintenant, de voir pi sur 2 comme une corde, ce n'est pas forcément évident, en fait une corde, c'est une droite, ce n'est pas un nombre, donc on va essayer de montrer que sin de X va être plus grand qu'une certaine corde, qui sera une droite, et le maximum de la droite, on va essayer de montrer que c'est pi sur 2. Pour commencer, on va voir la corde la plus facile à calculer, c'est celle qui est entre 0 et pi sur 2, donc au point de la pisce. Donc si on regarde la corde qui relie les points 0 pi sur 2 et pi sur 2, 1, elle a pour équation, c'est un calcul classique, calcul de coefficients directeurs, X plus calcul de l'ordonnée à l'origine, parce qu'en 0, ça vaut pi sur 2, donc ça, ça a pour équation Y égale 2 moins pi sur pi, X plus pi sur 2. Vu comme ça, ça ne saute pas forcément aux yeux ce qui va se passer, mais on va essayer d'en trouver le maximum. Étant donné que sinus est concave sur 0 pi sur 2, ça veut dire que pour tout X dans cet intervalle, sinus de X va être supérieur ou égal à, du coup, 2 moins pi sur pi, X plus pi sur 2. Mais, on va essayer de voir quelle serait la plus grande valeur éventuellement de ce truc-là. Alors, ce qu'il faut savoir, c'est que ce coefficient directeur, c'est négatif, parce que pi est plus grand que 2, c'est à peu près 314, donc 2 moins pi va être négatif. Donc finalement, ce quotient, donc le coefficient directeur, il est négatif, quand le coefficient directeur est négatif, la droite est décroissante, donc finalement, sur 0 pi sur 2, on a une droite décroissante, la plus grande valeur est atteinte quand X vaut 0, donc le maximum en X vaut 0, c'est pi sur 2. En fait, sinus de X, c'est tout le temps supérieur ou égal à ce truc-là, mais en l'occurrence, c'est tout le temps supérieur ou égal à pi sur 2, parce que ce truc-là, son maximum, c'est pi sur 2. Donc en fait, sin de X va être supérieur ou égal à pi sur 2 sur 0 pi sur 2, et donc on a l'inégalité recherchée, donc sin de X est compris entre pi sur 2 et X.

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