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Analyse

Dérivée seconde et convexité

Dans cet exercice, on montre l'inégalité de Bernoulli en utilisant la convexité de la fonction 1 + x^n. On commence par étudier la convexité de cette fonction en dérivant deux fois et en analysant le signe des dérivées. On conclut que la fonction est convexe sur l'intervalle [-1, +∞]. Ensuite, on utilise cette convexité pour déduire que pour x > -1, la fonction 1 + x^n est plus grande que 1 + nx. On fait cela en considérant l'équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse 0, qui est donnée par l'équation y = nx + 1. Comme la fonction est convexe, elle est au-dessus de cette tangente, ce qui implique que 1 + x^n est plus grand que 1 + nx. Ainsi, on obtient finalement que 1 + x^n ≥ 1 + nx pour x > -1.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer l'inégalité de Bernoulli en utilisant la convexité. Parce qu'on pourrait la montrer en terminale, normalement on la montre en utilisant le raisonnement par récurrence. Là, on va la montrer en utilisant la convexité de la fonction 1 plus x puissance n. Alors, pour commencer, on nous demande d'étudier la convexité de cette fonction sur l'intervalle moins 1 plus l'infini. En fait, pour étudier la convexité, la méthode la plus simple, c'est de dériver deux fois et d'étudier le signe de la dérivée. Donc, c'est une fonction qui est très facile à dériver. La dérivée première, c'est n fois 1 plus x puissance n moins 1. Et la dérivée seconde, du coup, c'est n fois n moins 1 fois 1 plus x puissance n moins 2. Alors, le signe de ça, c'est assez clair. Comme n est plus grand que 2, ça c'est positif. Comme x est plus grand que moins 1, ça c'est positif. Donc, finalement, f prime va être positif. Et donc, f est convexe sur moins 1 plus l'infini. Voilà pour la convexité. Et ensuite, on nous demande d'en déduire que pour x plus grand que moins 1, donc dans l'intervalle qu'on a regardé, 1 plus x puissance n va être plus grand que 1 plus nx. Donc, je rappelle l'inégalité de Bernoulli. Alors, ça c'est un réflexe qu'il faut avoir, surtout quand la question d'avant on nous dit d'étudier la convexité. Si on a une fonction convexe et qu'on souhaite la minorer par une autre fonction, surtout une fonction affine, il faut tout de suite penser à une équation de tangente. Parce que quelque chose qu'il faut absolument savoir par cœur, c'est qu'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes. Une fonction convexe comme ça va être au-dessus de ses tangentes. Dans l'autre sens, une fonction concave est en-dessous de ses tangentes. Donc, ça c'est vraiment quelque chose qu'il faut... C'est un réflexe qu'il faut avoir. Autre chose qu'on pourrait avoir, parce qu'une propriété aussi qui existe, c'est qu'une fonction convexe est, comme on disait, au-dessus de ses tangentes, mais elle est en-dessous de ses cordes. Et une fonction concave, c'est l'inverse, elle est au-dessus de ses cordes, mais en-dessous de ses tangentes. Donc, ça c'est un réflexe qu'il faut avoir. Quand on veut avoir une inégalité d'une fonction concave ou convexe impliquant une fonction affine de l'autre côté, en fonction de si c'est une concave ou convexe, et de si on nous demande supérieure ou inférieure, il faut penser à soit une corde, soit une tangente. Donc là, on a une fonction convexe, on veut qu'elle soit plus grande qu'une fonction affine, et bien là, la méthode c'est de voir la fonction affine comme une tangente particulière de cette courbe-là, donc de la courbe de la fonction 1 plus x puissance n. Donc ça, c'est vraiment l'astuce qu'il faut avoir absolument. Peu importe l'inégalité qu'on nous demande, du moment qu'il y a une fonction concave ou convexe et une fonction affine, il faut voir ça comme une corde ou une tangente. C'est très important de voir ça. Donc 1 plus x puissance n, on va le voir comme une tangente. Donc là, on veut voir n comme le coefficient directeur, sauf qu'étant donné que la dérivée, c'est ça, on doit trouver une valeur de x qui fait que ce truc-là vaut n. En fait, quand on prend x égale 0, ça fait juste n, donc c'est la bonne valeur pour le coefficient directeur. Donc on vérifie si le reste, ça passe. Donc 1 plus nx, c'est bien n fois x moins 0, parce qu'il fallait que ce soit au point d'abscisse 0, plus 1, c'est bien f de 0. Donc on a bien l'équation de la tangente au point d'abscisse 0 qui vaut y égale nx plus 1. Donc là, j'ai réordonné pour avoir vraiment la forme ax plus b, mais c'est la même chose, 1 plus nx, nx plus 1, on comprend ça. Donc voilà, ça, c'est l'équation de la tangente. Et comme f, elle est convexe, comme on l'a montré dans la question 1, elle est convexe sur moins 1 plus l'infini, la courbe de f est au-dessus de ces tangentes, comme on le dit depuis tout à l'heure, et donc f de x est plus grand que 1 plus nx. Et donc finalement, 1 plus x puissance n, c'est super haut égale à 1 plus nx sur l'intervalle moins 1 plus infini.

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