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Analyse

Dérivée seconde et convexité

Dans cet exercice, on étudie l'inégalité entre la moyenne arithmétique, géométrique et harmonique de deux réels positifs x et y. On veut montrer que m < g < h où m est la moyenne arithmétique, g est la moyenne géométrique et h est la moyenne harmonique. 

On commence par montrer que m < y car x < y. Ensuite, on montre que g < m en utilisant une identité remarquable. On écrit m - g = x + y / 2 - sqrt(xy) = (sqrt(x) - sqrt(y))^2 / 2. Comme (sqrt(x) - sqrt(y))^2 est positif, on conclut que m - g > 0 et donc m > g. 

Ensuite, on montre que x < g en utilisant le fait que la racine est croissante. Comme x < y, on a sqrt(x) < sqrt(y), ce qui implique x < sqrt(x)*sqrt(y) = sqrt(xy) = g. 

Finalement, on veut montrer que h est entre x et g. On utilise les inverses des moyennes et on montre que 1/g < 1/h < 1/x. Donc en prenant les inverses, on a g < h < x. 

Ainsi, on a montré que x < h < g < m < y. 

On généralise ensuite cette inégalité pour n > 2 en utilisant la concavité de la fonction logarithme. On écrit la moyenne arithmétique comme une somme et la moyenne géométrique comme un produit. On utilise ensuite l'inégalité de concavité du logarithme pour montrer que la somme des logarithmes des xi/n est plus petit qe le logarithme du produit des xi élevés à la puissance 1/n. 

En utilisant l'équivalence entre le logarithme et l'ordre croissant, on conclut que la moyenne arithmétique est plus petite que la moyenne géométrique.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer cette inégalité en utilisant la convexité d'une fonction. Alors, on nous dit que x et y sont deux réels strictement positifs, avec x plus petit que y. On nous dit que m, c'est la moyenne arithmétique, donc c'est-à-dire on fait la somme, on divise par 2, g, c'est la moyenne géométrique, donc on multiplie, on prend la racine, et h, c'est la moyenne harmonique, donc on fait la moitié de la somme des inverses. Et en fait, le but, c'est de montrer qu'on a cette grande inégalité-là. Alors, bien sûr, on ne va pas tout montrer d'un coup. En fait, on va le faire en plusieurs étapes. Donc, on va commencer par ce qui est assez évident à montrer. Pour commencer, on montre que m est plus petit que y, donc m, c'est la moyenne harmonique. Étant donné que x est plus petit que y, m, c'est x plus y sur 2. Étant donné que x est plus petit, si on remplace x par y, c'est plus grand. Et donc, y plus y sur 2, ça fait juste y, donc on a bien montré que m est plus petit que y. Ensuite, on va montrer que g est plus petit que m, parce que, pareil, c'est quelque chose qui est assez évident à montrer. Donc, pour montrer que g est plus petit que m, on va faire la différence. On va faire m moins g, et on va montrer que c'est positif. Donc, m moins g, c'est x plus y sur 2, moins racine carrée de xy. Du coup, on met tout sur le même dénominateur, donc ça fait x moins 2 racine de xy plus y sur 2. Donc là, ce qu'il faut reconnaître, c'est que ce truc-là, c'est une identité remarquable. Donc, c'est a carré moins 2ab plus b carré, avec a et b qui sont respectivement racine de x et racine de y. Et bien, ce truc-là, c'est un carré, donc c'est positif. On divise par 2, qui est positif. Donc, le tout est positif. Mais vu que le tout, c'est m moins g, m moins g est positif. On passe le g de l'autre côté très facilement. Donc, ça nous fait que m est plus grand que g. On va ensuite montrer que x est plus petit que g. On a que x est entre 0 et y, donc x qui vaut racine de xx. On rappelle, x est strictement positif, donc cette égalité est vraie. En fait, c'est plus petit que racine carrée de xy, parce que la fonction racine est croissante. Donc, comme x est plus petit que y, racine de xx, c'est plus petit que racine de xy. Donc, voilà, on a montré très rapidement que g est plus grand que x. Alors, si on fait le point. On a montré que g est plus grand que x. On a montré que g est plus petit que m. Et on a montré que y est plus grand que m. Là, ce qu'il faut montrer maintenant, c'est que h va être entre x et g. Et si on a montré ça, en fait, on a tout montré. Donc, là, il faut étudier un peu ce que c'est que h pour faire ça. Donc, là, on va appliquer ce qu'on a montré juste avant avec les nouveaux nombres 1 sur y et 1 sur x. Alors, étant donné que 1 sur h, c'est la moyenne arithmétique de 1 sur x et 1 sur y. Etant donné qu'on a montré que la moyenne arithmétique de deux nombres, c'est plus petit que le plus grand des nombres. Ici, le plus grand des nombres, c'est 1 sur x. Donc, très rapidement, 1 sur h, qui est la moyenne arithmétique de 1 sur x et 1 sur y. C'est plus petit que le plus grand, qui est 1 sur x. Et ce qu'on a montré aussi, c'est que g est plus petit que m. Mais, alors, g, c'est la moyenne géométrique de deux nombres. M, c'est la moyenne arithmétique. Donc, la moyenne géométrique de deux nombres est plus petite que la moyenne arithmétique de deux nombres. Et 1 sur g, il faut le voir comme la moyenne géométrique de 1 sur x, 1 sur y. Eh bien, ça, c'est plus petit que 1 sur h. Alors, pourquoi on a fait tout ça ? Parce qu'en fait, on ne va pas directement avoir l'encadrement qu'on souhaite. Donc, ça veut dire que x, plus petit que h, plus petit que g. En fait, on va le montrer avec les inverses. Et on va montrer que 1 sur g, donc, il faut apprendre dans l'autre sens, vu qu'on fait les inverses. 1 sur g, plus petit que 1 sur h, plus petit que 1 sur x. Eh bien, en fait, c'est exactement ce qu'on a fait. Parce que 1 sur h, plus petit que 1 sur x. 1 sur g, plus petit que 1 sur h. Donc, là, ce qu'on a montré, c'est bien ce qu'on cherchait. C'est que 1 sur g, plus petit que 1 sur h, plus petit que 1 sur x. Et donc, tout est positif, il n'y a pas de souci. Donc, quand on passe à l'inverse, eh bien, on a bien que x, plus petit que h, plus petit que g. Donc, que h est compris entre x et g. Donc, finalement, on a bien toutes ces inégalités. Que x, plus petit que h, plus petit que g, plus petit que m, plus petit que y. Alors, maintenant, on va démontrer le cas général. Donc, là, on va montrer, plus généralement, qu'une moyenne géométrique est plus petite qu'une moyenne arithmétique. Sauf que là, on ne se limite pas à n égale 2. On fait le cas général pour n, qui est supérieur ou égal à 2. Alors, on nous donne un indice d'utiliser la convexité d'une certaine fonction. Donc, déjà, avant de faire ça, il faudrait savoir de quelles fonctions on aimerait bien étudier la convexité. Et on va essayer de voir un peu ces écritures-là, donc la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique, comment on peut les écrire pour faire apparaître quelque chose. Donc, là, la moyenne arithmétique, en fait, on va séparer la fraction en plusieurs termes. Donc, c'est x1 fois 1 sur n, x2 plus x2 fois 1 sur n, etc. Jusqu'à xn fois 1 sur n, bien sûr. Et la racine énième de x1, x2, etc. jusqu'à xn, on va le séparer en plusieurs produits. Et on se rappelle, la racine énième, c'est puissance 1 sur n. Donc, finalement, la racine énième du produit, ça nous fait x1 puissance 1 sur n fois x2 puissance 1 sur n, etc. jusqu'à xn puissance 1 sur n. Oups, là, il y a une petite coquille. Normalement, c'est un n, ce n'est pas un 3. Donc là, maintenant, on voit ça, il y a quelque chose qui va nous sauter aux yeux. C'est que le lien entre ça et ça, c'est qu'on passe du produit à la somme et que la puissance passe devant. Là, on a puissance 1 sur n, on a x1 sur n. Là, on a une somme, on a un produit. Et bien, il y a une fonction qui fait ça. C'est la fonction logarithme. La fonction logarithme, si on prend le logarithme, par exemple, de ça, le x va devenir un plus et les puissances vont passer devant. Donc, on se dit, est-ce que la fonction qu'on cherche, ce ne serait pas la fonction logarithme ? Petit rappel, la fonction logarithme, elle est concave, d'accord ? On la dérive deux fois, ça nous fait moins 1 sur x², c'est négatif. Donc, la fonction est concave. Là, ça fait partie des trucs qu'il faut savoir sans hésiter. Donc, la fonction est concave et, en fait, on va utiliser une inégalité de concavité. L'inégalité de concavité, c'est f de lambda x plus mu y, d'accord ? Ça, c'est juste avec deux éléments. C'est supérieur ou égal à lambda f de x plus mu f de y, voilà. Donc, ça, c'est l'inégalité de concavité qu'on va utiliser, en fait, avec le logarithme. Donc là, on va utiliser ce truc-là comme, en fait, une expression linéaire avec les x1 et les 1 sur n. Donc, on utilise la concavité de la fonction logarithme pour avoir cette inégalité-là. Et là, on reconnaît que, comme on supposait tout à l'heure avec cette histoire de log, que, en fait, 1 sur n log de x1 plus 1 sur n log de x2, en fait, c'est log de tout ce truc-là. Donc, c'est log de x1 puissance 1 sur n fois x2 puissance 1 sur n, etc. Donc là, un rappel de terminal qui devrait être absolument connu par cœur, c'est que si on a log de x plus petit que log de y, ça nous dit que x est plus petit que y, et ça, c'est une équivalence. Donc, en fait, c'est exactement ça qu'on a. On a log de ce bloc-là est plus petit que log de ce bloc-là. Donc, finalement, ce qu'il y a dedans, la somme, donc la moyenne arithmétique, est plus petite que la moyenne géométrique.

Moyennes arithmétique et géométrique

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