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Exposant=Inconnue ?
Ce cours aborde l'utilisation de l'exponentiel et du logarithme pour résoudre des inéquations où l'inconnu est un exposant. Ces types de calculs sont souvent utilisés en physique, notamment en radioactivité pour déterminer la durée nécessaire pour que 80% des atomes radioactifs disparaissent.
Pour résoudre ces inéquations, on utilise les lois géométriques et la définition de l'exponentiel pour les puissances. Lorsque l'exposant n'est pas un entier, on utilise la formule A puissance B = E de B ln de A. Ainsi, pour résoudre l'expression 1/5 à la puissance N, on utilise la formule E de N ln de 1/5.
En utilisant les propriétés du logarithme, on peut simplifier cette expression en -ln de 5. On obtient donc que 1/5 à la puissance N est inférieur à 0,01, ce qui peut être réécrit comme -N ln de 5 inférieur à N ln de 0,01.
En multipliant par -1 et en divisant par ln de 5, on obtient N supérieur à ln de 0,01 sur ln de 5. Pour vérifier la cohérence des signes, on peut observer que la suite géométrique 1/5 tend vers 0 lorsque N devient grand, ce qui confirme que l'expression est inférieure à 0,01 à partir d'un certain ordre.
Dans un autre exemple, pour résoudre l'expression 1,22 à la puissance N supérieur à 10 puissance 5, on utilise la formule E de N ln de 1,22. En simplifiant l'expression, on obtient N supérieur à 5 ln de 10 sur ln de 1,22. Encore une fois, la cohérence des signes est vérifiée, ce qui confirme la résolution de l'inéquation.
En résumé, la méthode consiste à revenir à la définition de la puissance avec l'exponentiel et le logarithme, puis à appliquer les méthodes précédentes pour résoudre les inéquations.
