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Courbe et Tangentes
En résumé, ce cours porte sur l'étude de la tangente au point d'abscisse 1 de la fonction logarithme. La fonction ln est dérivable sur R étoile plus, avec une dérivée de f prime(x) égale à 1/x. En utilisant la formule de l'équation de la tangente, on obtient l'équation y = x-1. On aborde ensuite la position relative de la courbe par rapport à la tangente en utilisant la notion de convexité et de concavité de la fonction. On détermine que la fonction logarithme est concave, ce qui signifie que la courbe est en dessous de toutes ses tangentes, y compris celle au point d'abscisse 1. On introduit également une autre méthode en étudiant la différence entre la fonction logarithme et la tangente, en utilisant une fonction auxiliaire g(x) = ln(x) - x + 1. En analysant les variations de g, on déduit que g(x) est toujours inférieur à 0, ce qui confirme que la fonction logarithme est en dessous de sa tangente en x = 1. Il est recommandé de privilégier la méthode de la concavité pour simplifier les calculs. En conclusion, la tangente la plus connue de la fonction logarithme au point d'abscisse 1 a pour équation y = x-1. Il est important de reconnaître cette tangente dans les exercices et de l'utiliser dans les calculs.
