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Analyse

Logarithme et puissances

Le cours concerne l'étude d'une fonction faisant intervenir le logarithme. La fonction en question est ln(2x + 1) / ln(2x - 1). Elle est définie sur l'intervalle (0, +∞) exclu e, où e est exclu en raison de l'annulation du dénominateur en e. 

Pour étudier cette fonction, on utilise la dérivée de la fonction, qui est (u'v - uv') / v², avec u = ln(2x + 1) et v = ln(2x - 1). En effectuant les calculs, on obtient la dérivée simplifiée -2x / (ln(2x - 1))². Étant donné que le dénominateur est strictement positif sur (0, +∞), la dérivée est strictement négative sur cet intervalle. 

Cependant, il y a une valeur interdite en e, ce qui signifie que la fonction n'est pas décroissante sur tout l'intervalle. En réalité, elle décroît sur l'intervalle (0, e) et décroît sur (e, +∞). Il y a donc une discontinuité dans la fonction aux alentours de e. 

Pour obtenir un tableau de variation complet, on étudie les limites de la fonction en 0, e+, e- et +∞. En utilisant la méthode de factorisation par le terme dominant, on trouve que la limite de la fonction en 0 est égale à 1, tout comme la limite en +∞. 

Quant aux limites en e+, la fonction tend vers +∞, et en e-, elle tend vers -∞. 

En traçant la fonction, on observe une asymptote verticale à x = e (et non y = e) en raison de la valeur interdite, ainsi qu'une asymptote horizontale à y = 1, lorsque x tend vers l'infini. 

Il est important de noter que la fonction n'est décroissante que sur les intervalles (0, e) et (e, +∞), et il y a un saut de moins l'infini à plus l'infini au niveau de la valeur interdite e.

Ceci conclut la méthode utilisée pour l'étude de cette fonction utilisant le logarithme. En cas de questions supplémentaires, vous pouvez vous référer à la FAQ.

On va maintenant s'intéresser à une étude de fonction faisant intervenir le logarithme. C'est une fonction facile à étudier, mais la méthode est plutôt classique, donc on va regarder un peu comment on fait une étude de fonction avec les logarithmes. La fonction proposée c'est ln2x plus 1 sur ln2x moins 1. Evidemment elle est définie sur 0e exclue e plus l'infini. Pourquoi on parle de 0 à cause du logarithme et pourquoi pas e, parce qu'évidemment à cause du dénominateur qui s'annule en e. Donc j'ai bien dérivable sur un val comme caution de telle fonction. C'est de la forme u sur v, donc la dérivée c'est g' égale u'v moins uv' sur v². Donc j'applique, je fais mes petits calculs et je m'en retrouve avec ici le ln2x simplifié avec le ln2x là, il me reste tout simplement moins 2x sur ln2x moins 1 au carré. Donc là tout ce qui est en bas est strictement positif puisqu'on est sur r étoile plus, là on a un carré positif aussi, donc finalement à cause du moins 2 là, g'2x est strictement négatif. Alors attention il y a une valeur interdite en e, donc ne dites pas que j'ai une décroissante sur tout l'intervalle i. Non, on sépare les deux intervalles, on va dire qu'elle est décroissante sur 0e et décroissante sur e plus l'infini. Mais ça ne veut pas dire qu'elle est décroissante sur tout l'intervalle, parce que, et typiquement c'est ce qui va se passer là, elle va descendre et après elle va repartir de plus l'infini. Donc en fait il y a un décrochage là, et donc de ici à là elle n'est pas décroissante, elle va remonter à plus l'infini, donc ça c'est hyper important. Alors quand il y a une valeur interdite, très souvent, pas tout le temps tout le temps, mais c'est très souvent en fait, c'est parce qu'il y a une division par 0, en fait on va de part et d'autre de cette valeur, on sera plus ou moins infini. Donc en fait vous savez que, dans certains cas ce sera tous les deux plus l'infini, des deux côtés moins l'infini, mais le plus souvent c'est moins l'infini d'un côté et plus l'infini de l'autre. Donc on va étudier les limites de G pour avoir un tableau de variation complet. Donc regardons en 0, donc on va faire une chose propre pour avoir le tableau de variation complet. Donc là en 0, j'utilise la méthode où je factorise par le terme dominant, c'est ça qu'il faut toujours comprendre. Ici en 0, ln de x tend vers moins l'infini, donc c'est lui qui domine par rapport au 1. Donc je factorise par ln de x, en haut et en bas, et du coup là c'est beaucoup plus simple, parce que là ce truc là tend vers 0, celui là aussi ça fait 1 sur 1, donc en 0 ça tend vers 1. Maintenant en E, donc ln de x, alors là on va devoir distinguer en E- et E+, par valeur inférieure et par valeur supérieure. En E-, ln de x-1 tend vers 0-, en E+, ça tend vers 0+. Et lui, ln de x plus 1, il tend vers, quand x tend vers E, il tend vers 2, que ce soit vers E+, ou vers E-. Donc par quotient, ça me fait 2 sur 0- ou 2 sur 0+, je vois qu'en E-, ça va tendre vers moins l'infini, et en E+, ça va tendre vers plus l'infini. D'où mon tableau de variation, au-dessus, qui est complet, avec toutes les limites. Ah oui, j'ai oublié le plus infini, pardon. Il nous manque plus l'infini, hop, plus l'infini, c'est pareil, on factorise par le terme dominant qui est ln de x, je reutilise les mêmes expressions que tout à l'heure, pour 0, et je vois que ça tend vers 1 aussi. Donc là mon tableau de variation est complet, avec toutes les limites. Alors si on trace la fonction, celle qui est tracée en rouge, on voit qu'au cause de la valeur interdite, on a une asymptote verticale, d'équation x égale E, et pas Y, pardon, x, voilà, et on a une asymptote horizontale en plus de l'infini, puisque f de x tend vers 1. Donc c'est une asymptote horizontale d'équation y égale 1. Et là on voit bien ce qu'on disait tout à l'heure, là elle est décroissante, là elle est décroissante, mais je ne peux pas dire qu'elle est décroissante sur tout l'intervalle Y, parce qu'il y a un saut de moins l'infini ici, à plus l'infini là, voilà, donc ça c'est très important. Voilà pour cette méthode sur l'étude de fonction qui utilise le logarithme. Si vous avez des questions, comme d'habitude, vous pouvez aller sur la FAQ.

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