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Analyse

Logarithme et puissances

Dans ce cours, on apprend qu'il faut faire attention lorsqu'on utilise le logarithme, car il n'est défini que sur Réactoire+. Il est important de regarder l'ensemble de définition d'une expression qui fait intervenir le logarithme. On se focalise ensuite sur la détermination de l'ensemble de définition d'une fonction avec le logarithme et le calcul de sa dérivée.

On commence par l'exemple de la fonction f(x) = ln(8x-4). On détermine que cette fonction est définie et dérivable sur l'intervalle [1.5, +∞[. On calcule ensuite sa dérivée qui est égale à 2/(2x-1).

Ensuite, on étudie la fonction f(x) = ln(x²+x+1), qui est définie et dérivable sur tout R. On calcule sa dérivée qui est égale à 2x/(x²+x+1).

On aborde également la fonction f(x) = ln(u/v), où l'on doit étudier le signe pour savoir quand elle est strictement positive. On détermine que cette fonction est strictement positive sur l'intervalle ]-∞,-2[ ∪ ]1,+∞[. On calcule ensuite sa dérivée qui est plus complexe, en utilisant la formule de dérivation des fonctions composées.

Enfin, on étudie la fonction f(x) = ln(e^x), qui est définie et dérivable sur l'intervalle ]0,+∞[. On calcule sa dérivée qui est égale à 1.

Il est important de retenir qu'il faut toujours vérifier l'ensemble de définition lorsqu'on utilise le logarithme dans une expression.

En utilisant le logarithme, il faut toujours faire attention, puisqu'il n'est défini que sur Réactoire+, de bien regarder l'ensemble de définition d'une expression qui fait intervenir justement le logarithme. Là, on va se focaliser sur cette méthode, sur ça, déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec le logarithme et calculer sa dérivée. Parfois, évidemment vous n'allez pas oublier de le faire, mais dans un exercice un peu plus long où on vous introduit une fonction, etc., souvent les élèves partent tête baissée et ils oublient de dire « Ah, en fait, étudiant dans une inégalité, par exemple, c'est souvent pour une fonction où vous avez le réflexe, et qu'on a une inégalité à étudier, parfois les élèves oublient de regarder pour quel ensemble cette inégalité est définie. Donc, regardons d'un peu plus près. Première fonction, f de x égale ln de 8x-4. Donc, la fonction ln est définie et dérivable sur R étoile plus. Ce que je vais juste regarder, c'est pour quelle valeur de x 8x-4 est supérieure à 0. C'est pour x, strictement supérieure à 1,5. Donc, mon intervalle y de dérivabilité et de définition, qui est le même, c'est 1,5 plus infini. Ensuite, je remarque que ma fonction est de la forme ln de u, donc sa dérivée c'est u' sur u, je fais les calculs, je trouve qu'en simplifiant par 4, ça fait 2 sur 2x-1. Deuxième expression, ln de un polynôme x² plus x plus 1, de degré 2. Donc là, degré 2 on sait faire, on va regarder quand est-ce qu'il est strictement positif, on regarde son delta, son discriminant qui est strictement négatif. Bon, vous savez bien, c'est-à-dire que le polynôme que j'ai appelé g, il est de signe constant. Et comme je regarde le coefficient ferme de plus haut degré, on l'appelle souvent le a ici, il vaut 1, donc c'est un polynôme en u, donc là il va être toujours positif, strictement. Donc finalement, ma fonction f qui est de la forme ln de g, elle est définie, dérivable sur R, donc mon polynôme est toujours strictement positif. Donc là, je refais le calcul usuel, f' qui est égal à g' sur g, donc ça me fait 2x sur x² plus x plus 1, qui est encore une fois défini sur R tout entier. Ensuite, on a une fonction type ln d'un quotient, ln de u sur v. Là, pareil, on va devoir faire une étude de signe pour savoir quand est-ce que c'est strictement positif. Donc, je fais un tableau de signe classique, tableau de signe de x moins 1, tableau de signe de 2x plus 4, x moins 1 change de signe en 1, 2x plus 4 change de signe en moins 2, je fais mon petit tableau de signe et je vois que c'est strictement, on ne dit pas ici la valeur interdite, puisque c'est au quotient. Donc finalement, on va être positif strictement de moins l'infini à moins 2 ouverts et de 1 ouvert à plus l'infini. Donc là, on fait juste le tableau de signe proprement et on sait que notre intervalle de définition, et donc de dérivabilité aussi, puisque sur un quotient c'est le même, c'est cet intervalle là, moins l'infini moins 2, union 1 plus l'infini. Et ensuite, pour la dérivée c'est un peu plus compliqué, comme c'est ln de u sur v, ça fait la dérivée de u sur v divisé par u sur v. Donc la dérivée de u sur v c'est u prime v moins u prime prime sur v carré, et divisé par une fonction c, multiplié par l'inverse, donc je fais fois v sur u, donc là c'est pas mal de voir déjà, sans rentrer toutes les données, mais juste en résonnant sur u sur v, comme ça je peux simplifier le v ici et le carré là, ça simplifie quand même l'expression, et je vois que ça fait u prime v moins u prime prime fois vu, et là je remplace tout simplement bêtement, je fais mes calculs, au numérateur j'ai un polynôme, qui se simplifie bien en plus, ça me fait juste 6, et j'ai un facteur de 2 termes au dénominateur, donc voilà ma dérivée. Dernière fonction, là qui fait intervenir est le logarithme et l'exponentiel, donc comme d'habitude je regarde quand est-ce que mon expression à l'intérieur du logarithme est strictement positive, c'est pour x strictement super à 0, donc en fait f est défini et dérivable sur r étoile plus, comme composé de telles fonctions. Encore une fois f est de la forme ln de u, donc ça veut dire que f prime c u prime sur u, je fais les calculs et j'en déduis que f prime égale e de x sur e de x comme 1. Voilà pour ces petits exemples, je vous dis ce qu'il faut bien mémoriser, quand il y a du logarithme avec une expression à l'intérieur, toujours se poser la question quand est-ce que c'est défini. Voilà, tout simplement.

Dériver ln(u)

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