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Dériver ln(u)
Dans ce cours, on apprend qu'il faut faire attention lorsqu'on utilise le logarithme, car il n'est défini que sur Réactoire+. Il est important de regarder l'ensemble de définition d'une expression qui fait intervenir le logarithme. On se focalise ensuite sur la détermination de l'ensemble de définition d'une fonction avec le logarithme et le calcul de sa dérivée.
On commence par l'exemple de la fonction f(x) = ln(8x-4). On détermine que cette fonction est définie et dérivable sur l'intervalle [1.5, +∞[. On calcule ensuite sa dérivée qui est égale à 2/(2x-1).
Ensuite, on étudie la fonction f(x) = ln(x²+x+1), qui est définie et dérivable sur tout R. On calcule sa dérivée qui est égale à 2x/(x²+x+1).
On aborde également la fonction f(x) = ln(u/v), où l'on doit étudier le signe pour savoir quand elle est strictement positive. On détermine que cette fonction est strictement positive sur l'intervalle ]-∞,-2[ ∪ ]1,+∞[. On calcule ensuite sa dérivée qui est plus complexe, en utilisant la formule de dérivation des fonctions composées.
Enfin, on étudie la fonction f(x) = ln(e^x), qui est définie et dérivable sur l'intervalle ]0,+∞[. On calcule sa dérivée qui est égale à 1.
Il est important de retenir qu'il faut toujours vérifier l'ensemble de définition lorsqu'on utilise le logarithme dans une expression.
