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Analyse

Logarithme et puissances

Dans ce cours, nous étudions une fonction définie par une fraction rationnelle avec un degré de 1 au-dessus et un degré de 1 en dessous de la barre de fraction. Le domaine de définition de cette fonction est de 0 à l'infini. Nous déterminons ensuite la limite de cette fonction lorsque x tend vers l'infini, ce qui nous permet de conclure que la limite est égale au logarithme de 3. Nous montrons également que la dérivée de la fonction est égale à 3x + 3. Ensuite, nous abordons l'étude d'une suite définie par récurrence à l'aide de cette fonction. Nous démontrons par récurrence que la suite est décroissante et minorée par un demi. Enfin, nous expliquons le théorème qui permet de conclure que si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.

Donc là on passe sur un exo, beaucoup moins théorique, c'est une étude de fonctions définie d'une certaine manière, comme ça. Vous avez une fraction rationnelle, donc avec un degré 1 au-dessus et un degré 1 en dessous de la barre de fraction, et on vous dit, on prend le log de ça, voilà une fonction. Vous n'avez pas à vous embêter pour l'ensemble de définition, tout simplement ce qu'on vous dit, on le définit que sur 0 plus l'infini. Si on ne vous le disait pas, il faudrait un peu s'embêter à dire, attendez, alors je veux que 3x plus 1 soit plus grand que 0, donc x plus grand que moins un tiers, mais en même temps il y a x plus 1, il y aurait une réflexion à avoir. Là vu que c'est plus grand que 0, 3x plus 1 est toujours positif strict, x plus 1 toujours positif strict. Donc c'est le premier remarque que je pourrais faire sur les questions 0. Donc le log existe, donc la fonction est bien définie, aucun problème. Question 1, on vous dit, déterminez la limite quand x tend à plus l'infini de f ayant donné une interprétation graphique. Là c'est limite composée, donc on fait une composition de fonctions, les deux fonctions sont continues, on va commencer par écrire 3x plus 1 sur x plus 1. Ça, si je divise par x en haut et en bas, ça fait 3 plus 1 sur x, donc le facteur dominant, 1 plus 1 sur x. Je peux dire 1 sur x tend vers 0 quand x tend vers plus l'infini, 1 sur x tend vers 0 quand x tend vers plus l'infini. Le tout a pour limite, quand x tend vers plus l'infini à nouveau, 3 sur 1, 3. Ensuite il faut dire ln étant continue, je peux dire que ln de 3x plus 1. Il faut absolument la continuité pour pouvoir conclure comme ça sur la limite qui se transmet. ln est continue sur son ensemble de définitions, donc il n'y a pas de problème. Tend vers log de 3, très bien, donc la limite en plus infini c'est log de 3. On a donc, en fait il y a un plateau vers lequel on va se coller, encore une fois on va se coller à un plateau genre log de 3, la fonction plus on approche de l'infini plus elle s'y colle, ça c'est la définition, enfin on appelle ça, c'est le droit de plateau vers lequel on tend, d'un symptôme et qui est horizontal. Alors ensuite ça va un peu tout seul, on vous dit démontrez que pour tout nombre réel positif ou nul f'2x est égale. Très bien, premier truc à dire. Comme combinaison de fonctions dérivables, là il n'y a pas trop car, combinaison, bon là il faut l'écrire bien, vous prenez là comme d'hab, vous prenez l'écriture de votre prof, s'il vous dit d'écrire d'une certaine manière, donc il y a une somme, un quotient, puis on met le log et tout, si tout ça est continue et dérivable, donc c'est dérivable. Très bien, on peut calculer quel que soit x positif ou nul, donc ça c'est quel que soit, à l'envers, quel que soit x positif ou nul, encore une fois à voir si votre prof accepte ce genre d'écriture, s'il ne veut pas vous mettez quel que soit en français. Alors, petit rappel, je vais mettre ça ici, log de u2x, le tout en dérivés, ça fait u'2x, donc on utilise ça, u' sur u, ici u2x c'est quoi ? Ben c'est ce machin là, honnêtement c'est un peu moche, ce qu'on pourrait faire, ce qui sera beaucoup plus simple, c'est écrire, je sépare en deux la fraction, et donc quel que soit x positif ou nul, f'2x va être beaucoup plus simple, ça m'évite, cette petite astuce-là m'évite de calculer la dérivée de 3x plus 1 sur x plus 1, qui est vraiment, je sais pas, c'est un peu relou quoi, il faut faire du u', là c'est pareil, donc ça va être du u sur v, donc c'est du u'v dans v'u sur v's, c'est assez long, il faut le séparer en deux, puis on vient voir ce que ça donne, donc là on fait la formule qui est ici, mais pour ces petits blocs-là, donc c'est facile parce que u' ici, ben u c'est 3x plus 1, donc u' c'est 3, divisé par u elle-même, 3x plus 1, et là pareil c'est 1 sur x plus 1, très facile. Je n'ai plus qu'à mettre tout, mettre le nominateur et je vais tomber sur ce qu'on me demande. Bon ça fait 3 fois x plus 1, donc 3x plus 3. Parfait, c'est la réponse qu'on me demandait. On va dire que la fonction f est strictement croissante, c'est positif, strict en l'occurrence, c'est plus grand strict que 0, hop, je l'ai mis ici, donc ça c'était le grand A. Donc le grand A vous fait juste démontrer quelques petits résultats très généraux, il faut être très précautionné au cas où sur l'ensemble de définitions, ici on vous enlève cette galère en vous disant c'est plus grand que 0, c'est quand même bien de vérifier en 2-2 si ça marche bien, ensuite une petite limite et une dérivée, donc c'est pas trop compliqué. Le but de l'exercice ensuite, c'est la question B, c'est-à-dire une étude de suite. Là j'ai rajouté une petite aide ici, en fait c'est quelque chose que vous allez avoir à la calculette, là je vous l'ai mis à l'écrit parce que je pense que sans calculette c'est un peu galère. On va voir quand est-ce qu'on utilise ça. On vous dit, soit un une suite définie par u0 égale 3, et ensuite un plus 1 égale f de un, donc une suite définie par d'accurance. Ça c'est pas trop compliqué, vous en avez vu plein, on va juste voir comment ça s'adapte dans ce cas avec une fonction peut-être un peu bizarre, un peu plus compliquée que la moyenne. Donc démontrez par récurrence que, donc on a p2n, ça c'est deux propriétaires en un, c'est-à-dire que vous avez d'un côté le fait que un plus un est plus petit que un, donc la suite est décroissante, et en plus de ça, la suite est minorée, c'est-à-dire qu'elle est plus grande qu'un nombre réel, elle est minorée par un demi. Très bien, on va regarder l'initialisation. u0 calculons-le, c'est 3, bon c'est rapide, 1 c'est quoi ? C'est log, enfin c'est f de 3. f de 3, on va regarder combien vaut f, on va mettre 3 là-dedans, donc ça fait 9 plus 1, 10, 10 sur 4, ça fait log de 5 demi. En gros log de x est toujours plus petit que x, donc on peut dire que ça, c'est strictement plus petit que 2,5. Pourquoi je mets ça ? Parce que ça veut dire que c'est strictement plus petit que 3. Est-ce que c'est plus grand qu'un demi ? On va dire que oui, vous le faites calculer dans soi, mais log de 2,5, ça sera genre 0,9 à la calculnette. Donc ça c'est super, on a l'initialisation. Il faut juste faire les valeurs numériques, je ne les avais pas toutes mises, j'avais mis que log de 5 tiers pour la suite, mais là vous allez regarder la calculnette aussi. Il me semble que ça fait log de 5 demi, un truc genre 0,8, 0,9 peut-être. Hérédité. On prend n appartient à n, tel que p de n est vrai. Donc ça veut dire que si j'ai la vérité pour n, j'ai aussi la vérité pour n plus 1. Or, f croissante strictement, on l'a vu dans la partie d'avant. Je peux donc dire que pour ces 3 objets, 1,5, un plus 1, un, leur image par f sera aussi rangée dans le même ordre. Donc ça me donne f de 1,5, plus petit ou il y a la f de un plus 1, plus petit ou il y a la f de un. Donc je prends f, j'ai ces 3 nombres rangés dans un certain ordre, du plus petit au plus grand. Si je prends leur image, vu qu'elle est croissante, elle conserve le rangement de ces 3, l'ordre de ces 3 nombres. Donc c'est parfait, f de 1,5. On va voir ce que c'est, j'ai f de 1,5 plus petit que, f de un plus 1 par définition c'est un plus 2, plus petit ou égal à f de un qui est un plus 1. Et f de 1,5, quand vous l'écrivez, c'est log de, alors c'est 3x plus 1, ça fait 3 fois 1,5 plus 1, ça fait 5,5, sur x plus 1, donc 1,5 plus 1, 3,5. Donc ça fait 5,5 sur 3,5, les deux se simplifient, ça fait log de 5 tiers. Et ça je vous le donne en calculette, ça fait genre 0,51, c'est plus grand strict que 1,5. Et donc, la propriété est démontrée. Conclusion. C'est démontré parce qu'on a bien cette propriété ici, ça c'est l'hypothèse de récurrence, h, r, avec un plus 1 plus petit que un qui est devenu un plus 2 plus petit que un. Parfait. Donc c'est général, je vous l'ai fait en détail, puisque c'est un grand classique, c'est bien de savoir refaire ça, de réviser ça. Énorme classique, genre quand vous avez une suite définie par récurrence comme ça, on vous demande souvent de montrer par récurrence qu'il y a croissance ou décroissance. Démontrer que la suite humaine converge dans une limite strictement positive, très facile. Bah oui, la décroissance n'est plus qu'une plus un, et plus petite qu'une. Minorée, ça veut dire qu'elle est bloquée, par le bas si vous voulez, par un nombre. Ça c'est vrai également, ici. C'est le théorème qui vous dit, si vous avez une suite décroissante et minorée, ou une suite croissante et majorée, alors elle converge. Croissante et majorée, c'est-à-dire qu'elle monte, elle monte, elle monte, mais elle est bloquée, donc elle finit par converger. Décroissante et minorée, mais elle descend, elle finit par être bloquée, donc elle converge. Voilà. C'est tout ce qu'on demande de vous, là, c'est bien rester au terrain.

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