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Les primitives - Techniques avancées

Dans cette vidéo, nous avons déterminé plusieurs primitives de fonctions. 

La première fonction était f(x) = 3x - 1 * (3x^2 - 2x + 3)^3. Nous avons utilisé deux méthodes pour trouver la primitive de cette fonction. La première méthode était de tout développer, mais cela prenait beaucoup de temps. La deuxième méthode était de reconnaître une forme particulière de la fonction à une puissance 3 et d'utiliser des formules de primitives. Nous avons finalement trouvé que la primitive de f(x) était 1/8 * (3x^2 - 2x + 3)^4. 

Ensuite, nous avons déterminé la primitive de 1 - x^2 / (x^3 - 3x + 1)^3. Encore une fois, nous avons utilisé la méthode de faire apparaître une dérivée dans l'expression pour utiliser une formule de primitives. Nous avons trouvé que la primitive de cette fonction était 1/6 * (1 / (x^3 - 3x + 1)^2). 

Enfin, nous avons trouvé la primitive de 1 / (x * ln(x^2)) sur l'intervalle [1, +∞). Nous avons utilisé la propriété du logarithme naturel pour simplifier l'expression et faire apparaître une forme de primitive courante. Nous avons finalement trouvé que la primitive de cette fonction était 1/2 * ln(ln(x)). 

Il est important de connaître et de comprendre les formules de primitives courantes pour résoudre ce type de problème. 

Merci d'avoir suivi cette vidéo ! À bientôt.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo on va déterminer nos premières primitives. Alors on nous demande de déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré. La première c'est f de x qui est égale à 3x moins 1, facteur de 3x carré moins 2x plus 3, le tout au cube. Attention on a bien une puissance 3 ici qui nous arrange pas trop. Alors à partir de là on peut avoir deux méthodes pour arriver à nos fins. La première ce serait la méthode un peu brute force, ce serait de tout développer. Alors là si on regarde bien on a un cube, donc déjà ça fait 4 facteurs dans le développement, en plus on va multiplier par 3x moins 1, bref on sait qu'on va y arriver vu que c'est un polynome et que du coup c'est très facile à intégrer mais ça va mettre beaucoup de temps. La deuxième option ça va être de repérer pourquoi est-ce qu'on a mis cette forme là, c'est pas anodin. En effet ici il faut reconnaître une expression, une fonction à une puissance particulière, à puissance 3. Donc si on sait que devant on a sa dérivée, on va pouvoir s'en sortir vu que la dérivée de u², on le sait, c'est 2u'u par exemple. Donc le but ça va être maintenant de faire apparaître, vu qu'ici ce n'est pas totalement la dérivée de l'expression qu'il y a sous la puissance, il faut faire apparaître, c'est très souvent comme ça en maths, ce qu'on souhaite observer, c'est-à-dire la primitive. C'est pour ça que j'ai mis un petit tilde au-dessus du u', vu que ce n'est pas encore totalement la dérivée de u. Alors il nous manque quoi pour que ce soit la dérivée ? Ici on aurait du 6x-2, or on a du 3x-1. Vous l'avez compris, on va multiplier et diviser par 1 demi. Donc voilà, ici on se retrouve bien avec du 1 demi fois la dérivée de u, u à puissance 3. Maintenant on peut appliquer, ça va être ça pendant tout l'exercice, c'est reconnaître des formes particulières de primitives et puis appliquer les formules. Alors là maintenant c'est une formule classique, la primitive de u'u'n, c'est 1 sur n plus 1 fois u à la puissance n plus 1. Si on a un doute, on a juste à re-dériver dans ce sens-là, bien si on dérive ça, il y a effectivement du u' qui sort et le n plus 1 se compense avec le n plus 1 ici, en laissant une puissance n. Donc si on applique ça maintenant à l'expression qu'on a ici, u joue le rôle de 3x²-2x3 et n c'est 3. Donc on applique la formule, une primitive de f, c'est grand f qui a x associé, 1 demi fois 1 quart fois 3x²-2x plus 3 à la puissance 4. Conclusion, pour tout x appartenant à R, une primitive, attention, c'est une primitive, ce n'est pas la primitive, il n'y a jamais de primitive unique, elles diffèrent toutes d'une constante juste à côté, sauf qu'ici j'ai pris la constante nulle par commodité. Donc finalement, une primitive de f sur R, c'est f qui a x associé 1 8e de 3x²-2x plus 3 à la puissance 4. Ensuite, nous devons primitiver 1-x² sur x puissance 3 moins 3x plus 1 à la puissance 3. C'est un peu la même logique, c'est le fait qu'on a une puissance ici qui est compliquée à primitiver, en plus qui est à l'inverse, et une expression où si on regarde bien, on a du x puissance 2 alors que là on avait du x puissance 3, du x alors que du 1 alors que là on a du x, donc on va essayer de se ramener à la même chose. En effet, ici si on identifie ça à u, étant plutôt l'expression sous la puissance, et bien on peut identifier un utile prime qui est quasiment la dérivée de l'expression sous la puissance. Il manque quoi ? La vraie dérivée de x3-3x plus 1, c'est 3x2-3. Donc on a juste à multiplier par 3, et pour faire une opération neutre on divise par 3, mais c'est pas grave pour la constante multiplicative. Donc au final, on fait apparaître, là je vous conseille de vraiment mettre sous la forme la plus simple possible pour identifier bien ce qu'on a, donc on met tout à plat, ça nous donne du moins un tiers de 3x2-3, j'ai utilisé un moins pour faire apparaître ici, vu que ce serait une puissance moins 3, fois x3-3x plus 1. Donc ici on a bien effectivement du u prime avec du u à une puissance n. Donc on peut appliquer la formule exactement de la même manière, et puis on obtient une primitive F, une grande F qui a x associé, moins un tiers fois moins un demi, en effet on a ajouté 1 à moins 3 donc ça devient moins 2, et donc j'ai directement mis sous la fraction 1 sur x3-3x plus 1 au carré. Donc pour tot x appartenant à moins l'infini moins 2, F de x est égal à un sixième de 1 sur x3-3x plus 1 au carré. Alors la prochaine primitive à déterminer c'est la suivante, celle de la fonction F qui a x associé x-1 sur racine de x facteur de x-2 sur moins infini 0. Alors là c'est plus compliqué puisqu'on la forme n'est pas, c'est pas comme si on pouvait identifier dès le départ ce qu'on avait fait pour les deux autres, mais on a envie quand même d'utiliser cette technique de faire apparaître un u et de chercher le u prime quelque part dans l'expression. Alors si on développe ce qu'il y a sous la racine, on obtient du x carré moins 2x, x carré moins 2x, sa dérivée c'est 2x moins 2, c'est top vu qu'à un facteur multiplicatif près c'est exactement ce qu'il y a au numérateur. Donc on fait apparaître ce que l'on souhaite, F de x est 1 demi de 2x moins 2 sur racine de x carré moins 2x, et là c'est bon, on a une forme particulière qui en plus, directement donnée, en effet ça peut s'identifier à u prime divisé par deux racines de u, et là c'est une formule usuelle, la formule la plus pure possible d'ailleurs. Donc on sait que la primitive de u prime sur deux racines de u c'est racine de u, on a qu'à la dériver dans le sens pour s'en rendre compte, et donc directement une primitive de F c'est grand F qui a x associé racine de x carré moins 2x sur l'infini 0. Ensuite la dernière que l'on a à identifier, pour tout x appartenant à 1 plus infini, F de x est égal à 1 sur x ln de x carré. Alors si vous l'avez compris, maintenant on va tenter toujours d'appliquer la même méthode. Alors l'expression compliquée c'est laquelle ? Vous êtes d'accord, c'est ln de x carré. Donc à ce moment là, on part dans le schéma inverse et on essaie de déterminer c'est quoi la dérivée de ln de x carré. Et bien on utilise les propriétés du ln pour déjà faire sortir le 2, ce qui simplifie quand même l'expression, c'est plus simple de travailler avec ln de x que ln de x carré, et ici ça fait apparaître du 1 sur 2x ln de x. Or là ça saute aux yeux puisque ln de x, sa dérivée, c'est 1 sur x. Donc on a juste à faire monter le x au numérateur pour faire apparaître le u'. On a effectivement 1 demi de 1 sur x, le tout divisé par ln de x. Et là il y a clairement la forme u prime sur u. Alors ça en général on le retire assez facilement vu que c'est une primitive très usuelle. La primitive de u prime sur u, c'est ln de, attention, valeur absolue de u. C'est une erreur très courante donc il faut bien retenir ça. Et donc si on applique cette définition au qui vaut ln de x, et bien une primitive c'est 1 demi de ln de valeur absolue de ln de x. Attention il y a deux effets qui se coulent ici. Et ici, si on regarde bien, ln de x pour x qui est entre 1 et plus infini, c'est positif. Donc les valeurs absolues peuvent s'enlever. Et au final une primitive c'est 1 demi de ln de ln de x. Donc voilà, c'était les premiers calculs de primitives qu'on a effectués. Donc c'est une démarche très classique qu'il faut bien avoir en tête. Quand on a une expression compliquée, on ne sait pas tellement comment la gérer. Alors une des solutions, c'est pas la seule, on en verra plein d'autres, mais une des solutions ça peut être de faire apparaître sa dérivée, donc u' dans le reste de l'expression, pour appliquer une formule classique de primitive pour les fonctions usuelles. Donc que ce soit les puissances de u, que ce soit les racines de u, les ln, etc. C'est pour ça qu'il faut bien connaître ces formules de référence. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et maintenant je vous dis à bientôt.

Reconnaissance de formes

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