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Les primitives - Techniques avancées

Dans cette vidéo, Mathis de Studio aborde le sujet des intégrations par parties. Pour commencer, il explique que l'intégration par parties est utilisée pour résoudre des problèmes de produits de fonctions différentes, ce qui est le cas ici avec l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx.

Il explique ensuite que pour choisir les fonctions à utiliser dans la méthode, il faut prendre en compte la facilité de dérivation et d'intégration. Dans ce cas, x est choisi comme fonction à dériver car sa dérivée est simple (égale à 1) et e de x est choisie comme fonction à intégrer car elle est facilement intégrable.

Il présente ensuite la méthode de l'intégration par parties en détaillant chaque étape. Il rappelle également qu'il est important de vérifier les hypothèses du théorème d'intégration par parties avant de l'appliquer.

Il applique ensuite cette méthode à l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx et obtient comme résultat 1.

Il aborde ensuite la deuxième intégrale à calculer, l'intégrale de 1 à e de x² ln2x dx. Il fait la même analyse que précédemment pour choisir les fonctions à utiliser. En utilisant la méthode d'intégration par parties, il obtient le résultat de 2 neuvièmes de e3 plus 1 neuvième.

En conclusion, Mathis souligne l'importance de bien comprendre et retenir la méthode d'intégration par parties, ainsi que de vérifier les hypothèses du théorème. Il encourage également à analyser les fonctions à intégrer et à dériver pour faciliter le calcul.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio et dans cette vidéo on va attaquer les intégrations par parties. Alors on nous demande de calculer les intégrales suivantes. I, tout d'abord, c'est l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx. Bon, je vous ai un peu spoilé la manière dont on va s'y prendre, ça va être par intégration par partie, mais l'important c'est de savoir pourquoi est-ce que l'on fait ça. Alors commençons par analyser ce qu'on nous demande de faire. Alors, on nous demande d'intégrer un produit. Donc déjà c'est quelque chose qui ne nous plaît pas trop, un produit de fonction différente. Or on sait que l'intégration par partie justement ça permet de résoudre certains problèmes de produit, vu que ça concerne directement ça. Alors, d'un côté on a en tête que l'intégration par partie, il y a un des produits qui est dérivé et l'autre qui est intégré. Maintenant il faut analyser. Lequel est-ce qu'on va choisir ? Alors x d'un côté, il est embêtant car il est en facteur, et par contre sa dérivée est plus que simple, c'est 1. Donc c'est très facile à manipuler comme dérivée. Alors que e de x, elle est à la fois intégrable et dérivable facilement, mais ici c'est forcément l'aspect intégrable qui nous intéresse. Alors il faut retenir ça, très souvent lorsqu'on nous demande d'intégrer une exponentielle, d'après ses propriétés très simples d'intégration et de dérivation, on part sur une intégration par partie. Alors, qu'est-ce que ça donne ? Alors là, il y a une typologie vraiment type, il faut appliquer à chaque fois, c'est un peu comme les récurrences, il faut s'habituer à garder vraiment une description, une grammaire toujours la même, comme ça, ça limite au maximum les erreurs. Alors, on commence par annoncer l'intégration par partie, ensuite il faut garder en idée, bon ça c'est plus servait au brouillon, qu'on sait que l'intégrale de uv' c'est l'intégrer de uv moins l'intégrale de u'v. Ok. Donc à partir de là, on essaye d'identifier qu'est-ce qui peut servir de u, qu'est-ce qui peut servir de v'. Alors, c'est parti, on commence par posons les fonctions. Alors là bien sûr c'est un abus de langage, puisque j'appelle u une fonction mais je l'égalise à un nombre. Donc ça n'a pas de sens en maths, normalement rigoureusement j'aurais dû mettre u la fonction qui a x associé x. Bon maintenant c'est communément admis qu'on fait l'erreur manifeste de confondre une fonction et son image, mais bon, bien sûr ce n'est pas rigoureux mathématiquement. Donc, une fois qu'on pose les fonctions, directement, qu'est-ce qu'on fait ? Vu qu'on va avoir besoin de u' et de v', on calcule les fonctions correspondantes. Donc si on pose u qui vaut x, u' vaut 1, et puis si on pose v' qui vaut e de x, et bien v est égal à e de x, convient. En effet, c'est une primitive disponible parmi n'importe quelle, enfin parmi l'infinité. J'ai choisi ici la constante égale 0 par commodité, mais c'est pour ça qu'il faut bien indiquer le convient, puisque c'est une primitive. Parfois, ça peut même être intéressant d'introduire des constantes bien choisies pour résoudre l'exercice. Bon, ce n'est pas le cas ici. Et là, justement, c'est là qu'on voit qu'on bascule dans la prépa, puisque l'intégration par partie, ce n'est plus comme au lycée, ce n'est plus une formule magique qu'on applique, ça devient un théorème. Et là, le poids des mots est très important. Quand on parle de théorème, pour appliquer un théorème, il faut vérifier ses hypothèses, c'est la base des mathématiques. Or, il y a des hypothèses, oui, au théorème d'intégration par partie, qu'il faut vérifier à chaque fois. Donc attention, il ne faut pas seulement l'écrire. Déjà, il faut l'écrire, ça vaut des points. Et en plus, il faut quand même vérifier pour ne pas qu'on se retrouve, si jamais on est en colle, le prof dit « ah oui, pourquoi les c1 au final ? » Et tu n'as pas vraiment à vérifier, tu as juste marqué, ça paraît un peu bête. Donc bon, on vérifie bien. Ici, on a x et e de x, donc au final, elles sont toutes les deux fonctions c1 sur l'intervalle considéré, 0, 1. Donc ça y est, les hypothèses sont vérifiées. Donc par théorème d'intégration par partie, à ce moment-là, on a le droit d'écrire la formule. L'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx, c'est l'intégrée de x exponentielle x, attention ici, on s'est bien levé, c'est la même, entre 0 et 1, moins l'intégrale de 0 à 1 de exponentielle x dx. Et là, ça y est, on peut tout calculer. Ça nous donne donc, ici, e1 moins 0, ça c'est nul. Et puis ici, l'intégrée de l'exponentielle x, c'est bien sûr ex. Au final, nous trouvons que l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx, c'est égal à 1. Ensuite, la deuxième intégrale que l'on nous demande de calculer, c'est l'intégrale de 1 à e de x² ln2x dx. Donc e, c'est exponentielle 1, bien sûr. Alors, on va faire la même analyse que pour la première intégrale. Ici, qu'est-ce qu'on a ? On a x², c'est un polynôme, on peut facilement le dériver, l'intégrer, mais on n'arrive pas à des résultats très concluants. ln2x, par contre, sa dérivée est très intéressante, puisque c'est 1 sur x, donc en termes de polynôme, c'est très intéressant, on arrive avec une même nature d'objet. Donc, on va se pencher sur la dérivée de ln2x et x², on va l'intégrer. C'est parti, on garde la même syntaxe. Posons les fonctions u qui est égal à ln2x, u' du coup 1 sur x, v' c'est x², donc 1 tiers de x³ convient. Hop, on vérifie, ln2x et 1 tiers de x³, ce sont bien des fonctions c1 sur 1e. Donc, par théorème d'intégration par partie, nous avons cette inégalité. Ici, dans la deuxième partie, c'est ça qui nous intéresse, on sait bien la calculer, puisque c'est l'intégration d'un polynôme. Et donc, au final, nous trouvons 2 neuvièmes de e3 plus 1 neuvième. L'intégrale de 1 à e de x², ln2x, dx, est égale à 2 neuvièmes de e3 plus 1 neuvième. Voilà, c'était une première approche de l'intégration par partie, donc bien retenir la syntaxe, j'ai plein d'élèves qui font pas l'effort de retenir exactement les étapes. Bon, vraiment, on se pose deux secondes, on apprend comment est-ce qu'on écrit une intégration par partie, et puis ça y est, après c'est donné, c'est donné pour la vie. Donc on en profite, bien retenir, faire attention à vérifier les hypothèses, ça, voilà, en plus ça prend vraiment pas de temps et ça vaut des points, donc je pense que c'est l'un des points les plus rentables en col ou en ds, ou même au concours. Et puis après, il faut avoir une bonne analyse de qu'est-ce qu'on veut intégrer, qu'est-ce qu'on veut dériver, et puis tout se passe bien. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt ! Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

Intégration par parties 1

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