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Les équations différentielles d’ordre 2

Dans cette vidéo, Matisse de Studio résout une équation différentielle d'ordre 2 en utilisant un changement d'inconnu. L'équation à résoudre est AX2Y2 + BX' + CY = 0, avec A, B et C étant des réels et A étant différent de 0 pour X entre 0 et l'infini. Cela pose un problème car notre méthode habituelle ne fonctionne pas avec cette équation. 

Cependant, nous sommes guidés vers une solution. On nous demande de vérifier que si Y est deux fois dérivable sur 0 et plus infini, alors Z est deux fois dérivable sur R, et vice versa. On prouve cela en utilisant la composition et les théorèmes généraux. 

Ensuite, nous effectuons le changement d'inconnu en remplaçant Y par Z ln X dans l'équation différentielle. Après simplification, nous obtenons une équation linéaire du second ordre à coefficients constants. C'est une équation que nous sommes capables de résoudre. 

Nous résolvons l'équation homogène et trouvons une solution générale. En composant cette solution avec ln X, nous trouvons l'ensemble des solutions de l'équation différentielle initiale. 

En résumé, grâce à un changement d'inconnu, nous avons transformé l'équation différentielle en une équation linéaire du second ordre à coefficients constants, que nous savons résoudre. Nous avons utilisé des techniques de composition pour trouver l'ensemble des solutions de l'équation initiale.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va résoudre une équation différentielle d'ordre 2 grâce à un changement d'inconnu. L'équation que l'on a à résoudre, c'est l'équation suivante, c'est E, qui dit que AX2Y2 plus BX' plus CY est égale à 0. Avec A, B et C des réels, A qui est différent de 0 pour X entre 0 et plus infini. Alors ça nous embête vraiment vraiment vraiment beaucoup puisque je vous ai toujours dit que nous, on savait résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre 2, ok, juste là, ça correspond à ça, mais à coefficients constants. Or là, on a clairement l'inconnu X avec A en plus qui est différent de 0, qui intervient directement dans l'équation différentielle. Donc si on regarde ça, on ne sait pas faire, on est bloqué. Heureusement, à chaque fois, ne panique pas lorsque vous rencontrez ces genres d'exercices vu qu'on nous met toujours sur la voie de la bonne résolution. Alors, première question, soit Y une fonction deux fois dérivable sur 0 plus infini ? Pour T, un réel, on pose Z de T qui est égal à Y de exponentielle de T. Ok. Vérifiez que Y est deux fois dérivable sur 0 plus infini. Si et seulement si, Z est deux fois dérivable sur R. Ok. Donc on doit démontrer une équivalence, donc montrons que Y est deux fois dérivable, si et seulement si, Z est deux fois dérivable. Vous pourrez le faire en équivalence, mais c'est un peu plus compliqué, donc moi ce que j'ai plutôt proposé, une démarche via double implication, comme ça il n'y a pas à réfléchir à ce niveau là, est-ce que c'est réciproque ou pas. On ne se pose pas de questions, ça peut prendre peut-être plus de temps, mais au moins il n'y a pas de doute. Donc on va essayer de montrer, pour l'instant, le sens direct. Supposons du coup que Y soit deux fois dérivable sur 0 plus infini. Alors, on va essayer de construire Z. Comme T associe l'exponentielle de T est deux fois dérivable sur 0 plus infini, par composition, sachant que Z est égal à Y rond exponentiel, et bien Z est deux fois dérivable. Donc, on a réussi à montrer le sens direct, Y deux fois dérivable implique que Z est deux fois dérivable. Bien sûr, tout se joue sur la citation des théorèmes généraux, via la composition. Maintenant, le sens inverse. Supposons que Z soit deux fois dérivable sur 0 plus infini. Or, pour tout T appartenant à 0 plus infini, Y de T c'est Z de ln de T. On a juste à remplacer E de T par ln de T. Comme ln, justement, est deux fois dérivable sur 0 plus infini, par composition, de même manière, les théorèmes généraux, Y qui est la composée de Z avec ln est deux fois dérivable. Donc, on a montré le sens inverse, Z deux fois dérivable implique Y deux fois dérivable. Conclusion, par double implication, c'était vraiment un exercice de logique mathématique, Y deux fois dérivable, si et seulement si, Z deux fois dérivable. Question 2, effectuer le changement d'inconnu précédent dans l'équation différentielle E, et vérifier que la résolution de E se ramène à la résolution d'une équation linéaire du second ordre à coefficient constant. Donc là, on se dit, on va peut-être être sauvé. Effectuons ce changement d'inconnu. Y de X, c'est donc égal à Z de ln de X, comme on l'a suggéré, donc Y prime de X est égal à 1 sur X, Z prime de ln de X, par dérivation de composition, et là, on a un produit et une composition, donc Y prime prime, c'est égal à moins 1 sur X carré, Z prime de ln de X, plus 1 sur X carré, Z prime prime de ln de X. À ce moment-là, E, ça nous donne quoi maintenant ? Ça nous donne A facteur de Z prime prime moins Z prime, plus B facteur de Z prime, plus C Z de T, est égal à 0. Là, en multipliant par X carré, on se rend compte que X carré Y prime prime, c'est égal à Z prime prime moins Z prime. Donc on se ramène à cette équation, A Z prime prime de T plus B moins A Z prime de T plus C Z de T est égal à 0. C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficient constant, c'est les seules équations que l'on sait résoudre à l'ordre 2, et on est vraiment soulagé. Ok, résoudre du coup sur 0 plus infini, l'équation différentielle, X carré Y prime prime moins X Y prime plus Y égale 0, donc on s'en doute qu'on va devoir résoudre tout d'abord cette équation ici, E1, la solution homogène, eh bien on détermine l'équation caractéristique A R2 plus B moins A R plus C est égal à 0, et ici, d'après ce qu'on a déterminé, je me demande d'où sort cette condition, ici on a donc R2 moins 2R plus 1 qui est égal à 0. Ok, alors à ce moment là, le discriminant qui est égal à 0 est 1 et racine double, donc on connaît la solution homogène, Z H c'est la fonction qui a T associé lambda T plus mu exponentielle T, lambda et mu étant des paramètres appartenant à R. On effectue maintenant le changement de variable dont on a besoin, vu qu'on a l'ensemble des solutions pour Z maintenant et l'ensemble des solutions pour Y, c'est la composition de Z H avec ln de X, donc c'est lambda ln de X plus mu X. Conclusion, l'ensemble des solutions de E2 sur 0 plus infini c'est l'ensemble des fonctions qui a X associé lambda X ln de X plus mu ln de X, lambda et mu appartenant à R. Donc voilà, c'est un peu comme l'exercice de Cole qu'on avait fait pour l'ordre 1, où on ne savait pas résoudre l'équation qu'on nous proposait, avec les méthodes habituelles en tout cas, ça ne faisait pas partie des classes de fonctions que l'on savait résoudre, mais à l'aide d'un changement de variable on se ramène à ce qu'on sait faire et ensuite on a juste à faire le chemin inverse pour déterminer l'ensemble de solutions qui nous intéressent. Ici j'ai compris d'où sortait le R2 moins 2R plus 1, puisqu'on a identifié, ce n'est pas n'importe quelle équation différentielle qu'on nous demande de résoudre, c'était celle pour A est égale à 1, B est égale à moins 1 et C est égale à 1. Donc voilà, c'est la fin de cet exercice, j'espère que vous avez compris la démarche globale, elle est quand même, vous voyez, assez récurrente. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à bientôt.

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