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Les polynômes de Legendre sont une famille de polynômes qui se montrent sous la forme Pn(x) = (dérivée énième de x²-1 à la puissance n). Ces polynômes ont un degré de 2n et ont un coefficient dominant de (2n factorial / n factorial). En examinant la dérivée de Pn, on peut déterminer les racines du polynôme, notamment les racines d'ordre n-k et les racines d'ordre 1. En appliquant le théorème de Rolle, on peut montrer que Pn a n points distincts d'annulation. Les polynômes de Legendre sont souvent rencontrés dans le domaine des polynômes et il est important de retenir leur forme et leurs propriétés.

Salut à toutes, on va regarder les polynômes de Legendre, qui sont les polynômes les plus connus avec les polynômes de Lagrange. Il y a pas mal de choses à étudier, surtout sur leurs dérivés, vu qu'on est sur le chapitre des dérivés. C'est parti pour les polynômes de Legendre ! Alors, c'est quoi un polynôme de Legendre ? C'est une famille de polynômes. C'est les polynômes qui se montrent de cette forme Pn de x, qui est la dérivée énième de x²-1 à la puissance n. On va essayer de regarder dans cet exercice ce qu'il y a à dire sur ces polynômes. D'abord, c'est quoi le degré de Pn, c'est quoi son coefficient dominant, et ensuite on va regarder un peu les racines avec les théorèmes de dérivation de ces polynômes. Notamment, on va regarder la dérivée Pm de x²-1 à la puissance n, et on va essayer de trouver c'est quoi le degré de Qp, que Qp admet 2 0 d'ordre n-P et P0 d'ordre 1. On appliquera ce polynôme, ce résultat, pour la question 3. On va s'intéresser à la question 2 en appliquant P avec P égale n. Donc c'est parti. Tout d'abord, nous on veut savoir le degré et le coefficient dominant de Pn, de la dérivée énième de x²-1 à la puissance n. Pour des raisons de simplicité, je vais poser n²x égale x²-1 à la puissance n. Lui, c'est un polynôme de degré 2n, puisqu'il y a du x² à la puissance n ici, et de coefficient dominant égal à 1. Quand je développe x²-1 fois x²-1, ça fait quelque chose de coefficient de dominant 1. Du coup, je peux le réécrire à n²x et je peux dire que ça décrit de la forme x puissance 2n plus un polynôme de degré inférieur. Et donc ça, je vais le dériver n fois. Ce qui va m'intéresser pour le coefficient dominant, ça va être la dérivée énième de ce terme-là, vu que la dérivée énième de ces termes vont donner quelque chose de degré inférieur. Quand je dérive k fois, ça va me donner un polynôme de degré 2n-k et de coefficient dominant 2n sur 2n-k. En particulier pour k égale n, je me retrouve avec la dérivée énième de n, qui est le polynôme de Legendre, Pn de x, et qui sera donc de 2 degrés n et de 2 coefficients dominants 2n factorial sur n factorial. Pour la suite, on va regarder la dérivée Pn et essayer de trouver la multiplicité des racines de ce polynôme-là. On va regarder qu'elle admet au moins deux 0 d'ordre n-p et p0 d'ordre 1. Pour An2x, ça vaut x²-1 puissance n. On a dit que c'est degré 2n et de coefficient dominant égal 1. Je repose comme tout à l'heure, je dis que c'est x puissance 2n plus quelque chose. On fait exactement le même calcul, en fait. Franchement, il n'y a pas grand chose de plus. La dérivée Pn, on sait qu'elle est de degré 2n-p et de coefficient 2n factorial sur 2n-p factorial. Ce que je vais vous montrer par récurrence, c'est la propriété suivante. C'est celle qui m'est demandée. C'est que Qk, dans le sens du coup la dérivée Km de M, admet moins 1 et 1 pour racines d'ordre n-k et k racines d'ordre 1 distinctes. Autre que moins 1 et 1. Je repars de Q0. Q0 a bien moins 1 et 1 sur le décompose qui sont des racines d'ordre n et 0 autres racines. Donc p0 est vrai, pas de problème. Maintenant, je suppose que pk est vrai. C'est un peu lourd à écrire mais finalement ça veut dire quoi ? Ça veut dire que Qk, il s'écrit comme 1 et moins 1 sont racines d'ordre n-k, je peux tout factoriser et écrire x²-1 à la puissance n-k. Ou un produit d'autres monomes du premier degré de la forme x-αj que je range tous par ordre croissant volontairement avec α1, α2, α3, etc. rangés par ordre croissant et qui sont distincts de 1. Donc voilà, là j'ai le bon degré et je ne peux pas avoir d'autres racines parce que ici j'ai k racines plus du coup les x-1 et x-1 qui est de 2. Donc là j'ai quelque chose de degré 2n-2k. 2n-2k plus k ça fait bien 2n-k, c'est ce que nous disait la question 1. Donc maintenant la dérivée k plus 1ème c'est quoi ? C'est que la dérivée de Qk et donc alors c'est là où c'est un peu pas évident c'est que ce polynôme là, le reste je l'appelle rk de x donc ça me fait la dérivée de ça fois rk plus le x²-1 à la puissance n-k fois rk prime. Donc la dérivée de polynôme ça me fait n-k fois 2x fois x²-1 à la puissance n-k-1 fois rk de x plus le x² à la puissance n-k fois rk prime. Moi je factorise volontairement tout par x² à la puissance n-k-1 et je me retrouve avec un reste de cette forme. Donc qu'est ce que je vois là dedans c'est que moins 1 et 1 sont bien racines d'ordre supérieur ou égal à n-k-1, voilà vu que j'ai pu factoriser. Maintenant j'aimerais montrer que dans ce qui reste là j'ai bien k plus 1 racine d'ordre 1. Donc qu'est ce qu'on va faire ? Tout ça je vais pas du tout m'intéresser à ce polynôme, ça m'intéresse pas. Je vais appliquer le théorème de Rolle, je sais que en fait je vais appeler l'intervalle ii entre chaque alpha i alpha i plus 1 et en fait je peux même poser moins 1 égal à alpha 0 et 1 égal à alpha k plus 1 et là simplement j'applique le théorème de Rolle à chaque fois. J'ai donc k plus 1 intervalles distincts et donc je vais avoir k plus 1 racines qui sont donc forcément distinctes de moins 1 et 1. Le théorème de Rolle m'assure que ces racines sont d'ordre supérieur ou égal à 1, elles pourraient être d'ordre supérieur mais maintenant c'est les degrés qui vont m'aider. La somme des ordres des racines est forcément inférieure ou égale au degré du polynôme qui vaut 2n moins k moins 1. Et d'autre part on a dit qu'il y a au moins k plus 1 racines d'ordre 1 et moins 1 et 1 qui sont d'ordre n moins k moins 1. Donc quand je fais la somme de toutes les multiplicités des racines ça me fait donc 2n moins k moins 1 pile poil ce qu'il faut donc ça peut pas être supérieur à ça et ça peut pas être inférieur parce que j'ai déjà une somme qui vaut 2n moins k moins 1. Et donc je tombe pile sur le résultat et j'ai donc moins 1 et 1 qui sont racines d'ordre n moins k moins 1 exactement et les autres racines k plus 1, les autres racines distinctes qui sont en nombre de k plus 1 qui sont elles d'ordre 1 exactement. Donc ma récurrence fonctionne, c'est très bien. Donc maintenant je vais en déduire évidemment que Pn s'annule exactement en n points distincts. Là en fait Pn c'est quoi ? C'est la dérivée Cqn par rapport à la question précédente donc j'applique juste la question d'avant et je dis que Pn admet donc n Pn si j'applique le résultat donc c'est la dérivée Km, la dérivée k plus 1 ah oui c'était pour la propriété à l'ordre k plus 1 donc c'est bon en fait donc à l'ordre k j'ai bien n vaut k cette fois donc j'ai bien n racines distinctes toutes comprises dans moins 1 et 1 et j'ai donc n moins 1 et 1 sont des racines sont des racines d'ordre 0 donc c'est pas racines en fait et donc j'ai bien moins 1 et 1 qui sont pas racines. Donc Pn j'ai toutes ces racines sont distinctes et toutes comprises entre moins 1 et 1. Donc voilà une introduction un peu pour les polynômes de Legendre, vous les rencontrerez sûrement dans le chapitre des polynômes et voilà ici on a pu trouver une propriété sur la racine grâce au théorème de Rolle. De toute façon vous le verrez, vous le rencontrerez ce polynôme comme je l'ai dit donc à bien mais retenir sa forme même si c'est pas du courant dit ça reviendra assez souvent. Voilà pour les polynômes de Legendre.

Polynome de Legendre

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