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Rappels et Probas Conditionnelles

L'indépendance, une notion très importante en probabilité, peut être expliquée de manière claire en utilisant des exemples. Dans cet exemple, nous avons deux variables : le sexe (garçon ou fille) et la couleur des cheveux (blond ou brun). Nous avons également des probabilités associées à chaque événement. Par exemple, la probabilité d'être blond en étant garçon est de 0,2, et la probabilité d'être blond en étant fille est de 0,3.

Pour déterminer la probabilité d'être blond dans ce lycée, nous utilisons la formule des probabilités totales. Cependant, il est important de noter que la couleur des cheveux dépend du sexe. Par conséquent, la probabilité d'être blond dépend de si vous êtes un garçon ou une fille. Ces événements sont donc dépendants.

Cependant, il est également possible d'avoir des événements indépendants. Par exemple, si la probabilité d'être blond est la même pour les garçons et les filles, il s'agit d'un événement indépendant. Dans ce cas, peu importe si vous êtes un garçon ou une fille, la probabilité d'être blond est de 30%.

Il est important de comprendre les définitions formelles en mathématiques, mais il est également utile de les considérer avec des exemples concrets. Les formalités théoriques viennent ensuite pour renforcer la compréhension. Il est également intéressant de noter que si deux événements A et B sont indépendants, leurs complémentaires (non A et non B) le sont également.

En résumé, l'indépendance en probabilité se réfère à des événements qui ne dépendent pas les uns des autres. Dans le cas de l'exemple, si la probabilité d'être blond ne dépend pas du sexe, alors ces événements sont indépendants.

l'indépendance, une notion très très importante en probabilité, que je vais essayer de vous expliquer le plus clairement possible, parce que moi-même je n'avais rien compris, j'avais eu beaucoup beaucoup de mal quand j'étais au lycée à comprendre ça. Je vais essayer de vous montrer la manière qui, moi, m'a débloqué. Moi j'ai compris l'indépendance de deux événements, lorsque j'ai compris la dépendance de deux événements. Donc laissez-moi vous montrer avec deux variables, les mêmes que j'utilise depuis quelques vidéos dans mes exemples pédagogiques. Donc j'ai variable sexe, variable couleur de cheveux. J'ai l'événement être un garçon, être une fille pour la variable sexe. Les événements être blond, blonde, être brun, brune pour l'événement, pour la variable couleur de cheveux. Donc voilà, on a ces probabilités là. Je vais regarder. La proba d'être blond, d'avoir les cheveux blonds quand je suis un garçon c'est 0,2. La proba d'être blond, d'avoir les cheveux blonds avant d'être blonde quand je suis une fille c'est 0,3. Donc si je vous dis dans ce lycée là, je tire un élève, voilà, c'est quoi la proba d'être blond, c'est quoi ? Vous allez pouvoir me faire un calcul avec la formule des probas total, vous allez me dire ok bah je peux prendre un petit bout ici, un petit bout ici, et me dire ce que c'est. Moi je vais dire oui d'accord mais est-ce que c'est la même, est-ce que c'est pareil, est-ce que ça dépend du sexe ? Vous allez me dire bah ouais quand même, ça dépend du sexe, parce que quand c'est un garçon c'est 20% de chance d'être blond. Quand c'est une fille c'est 30% de chance. C'est des faux chiffres, j'ai encore inventé ce truc là je vous ai dit. Et donc ça dépend du sexe. Donc la couleur des cheveux, la proba d'être blond va dépendre de si je suis un garçon ou si je suis une fille. Ça c'est des événements dépendants. Ça c'est intéressant, c'est-à-dire que si on a compris ce que c'est des événements dépendants, je peux tout de suite vous tracer une situation où ça serait indépendant cette fois-ci. Par exemple garçon et blond, ça peut être indépendant. Bah ici on avait donc voilà différentes probas, 0, 2, 0, 3, ça dépend de si fille et garçon, donc c'est dépendant. Une situation où ça serait indépendant, ces événements, serait comme ça. Au lieu d'avoir 20% et 80% de blond et brun pour les garçons, je pourrais avoir une situation où c'est 30 et 70. Ah bah là c'est intéressant. Tout de suite là je comprends que être blond, avoir les cheveux blonds, bah c'est totalement indépendant d'être garçon ou fille. On s'en fiche. Dans tous les cas c'est 30%. Ça c'est un de deux événements indépendants. Donc là-haut c'était indépendant, j'avais pas la même proba d'être blond pour les deux, donc c'est-à-dire que sexe garçon-fille c'était dépendant avec blond-brun, là c'est devenu indépendant parce que j'observe la même proba, ça veut dire qu'en fait je m'en fiche, garçon ou fille, dans l'espèce humaine on s'en fout, il y a la même, en tout cas chez les ados, il y a la même proportion de blonds dans ce lycée. Et donc en fait c'est ça, proportion, un proba de blond sachant f, sachant fille, c'est la même chose que la proba d'être blond sachant garçon. Ce sont deux événements indépendants, ça ne dépend plus. Définition formelle, c'est l'important, moi j'aime bien vous faire des exemples, c'est le plus important pour comprendre, il faut quand même connaître ces définitions formelles en maths, c'est souvent comme ça. D'ailleurs en général si vous sentez que vous avez une définition en cours, vous êtes largué, il y a plein de trucs, on comprend rien, rappelez-vous toujours le prof de studio qui vous disait, faites un exemple. Faites cet exemple un peu simple, mettez des équipes de foot et de rugby, les élèves choisissent rugby ou foot, mettez, je sais pas moi, les élèves préfèrent écouter du hip-hop ou du black metal, n'importe quoi qui vous fait plaisir, mais rendez la chose palpable en mettant un exemple. Les définitions théoriques, les trucs, ça doit venir après, ça vient ensuite pour consolider ce que vous avez commencé à comprendre et à visualiser avec un exemple. Si on vous file la définition formelle dès le début, c'est un peu lourd, on comprend rien, rendez-vous-le intelligible en reprenant un exemple. Soit ce que moi je fais, que je vous donne, soit inspirez-vous-en, plus vous êtes actifs dans la démarche, plus ça va être facile pour vous de comprendre et d'apprendre. Donc définitions formelles par contre il faut les apprendre, parce qu'on fait pas un esprit mathématique sans les apprendre, mais voilà. Par contre si on commence directement par des trucs comme ça, assez lourds, assez théoriques, ça refroidit et on trouve pas beaucoup de joie. Donc on a vu, disons par exemple là c'était garçon et blond, ils sont indépendants si la proba d'être blond c'est la même chose que la proba d'être blond quand je suis garçon. Et en fait c'est le cas, la proba de B c'est la même chose que la proba de B sachant A. En fait on se dit oui mais en fait on s'en fout, tu peux toujours être A ou pas, je m'en fiche, la proba de B c'est la proba de B. A. Bon bah ça veut dire que c'est indépendant, donc proba de B sachant A, j'aurais très bien pu ne pas sachant A si vous voulez, j'aurais trouvé la même chose. C'est ça la définition de deux événements indépendants. Donc ça s'écrit comme ça théoriquement, ce que j'ai écrit là-haut en fait au final, et en fait ça c'est la définition formelle. Je dis ça parce que beaucoup de gens connaissent uniquement la propriété qui en découle directement, qui est en fait une adaptation de la formule des probas conditionnels dans laquelle on met cette définition. Mais voilà, la définition c'est ça, la propriété c'est dans ce cas-là, P de A inter B, qui d'habitude est P de A fois P de B sachant A, devient, quand on remplace P de B sachant A par P de B, devient P de A fois P de B. Tout le monde connaît ça très bien, j'aurais bien insisté un peu sur le fait que vous avez la définition qui est ce que j'ai essayé d'expliquer, ce qui va avec l'intuition que j'ai expliquée avant, et puis ensuite vous avez cette propriété des calculs qui est très pratique pour les exos etc, qui en découle. Enfin petite remarque, si A et B sont indépendants c'est parfaitement équivalent à A barre B indépendant, A B barre indépendant, A barre B barre indépendant. A barre c'est le complémentaire, donc par exemple A si c'est garçon, A barre ça serait fille, B dans ma couleur de cheveux ça serait brun, B barre ça serait blanc, ou le contraire vous avez compris. Donc voilà, ça c'est pour dire que ça marche avec les complémentaires également. J'espère que c'était clair, posez-moi des questions s'il y a besoin, j'ai un peu insisté sur mes exemples etc, je pense que c'est le plus important, n'hésitez pas à me dire si je peux préciser encore plus. A la prochaine !

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