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Algèbre

Rappels et Probas Conditionnelles

Dans ce cours, nous étudions une situation où nous tirons des boules d'une urne sans les remettre. Il est important de faire la distinction entre une situation avec remise (où l'on remet la boule après chaque tirage) et sans remise (où la boule tirée est retirée de l'urne). Cette distinction va influencer les probabilités tout au long du problème.

Nous utilisons les notations "bi" pour représenter le fait de tirer une boule bleue au ième tirage et "ri" pour représenter le fait de tirer une boule rouge. Vu qu'il n'y a que des boules bleues et rouges dans l'urne, nous pouvons remarquer que "ri" est équivalent à "bi barre" (le complémentaire de "bi"). Par exemple, si "b1" représente le fait de tirer une boule bleue au premier tirage, alors "r1" représente le fait de ne pas tirer une boule bleue au premier tirage (c'est-à-dire tirer une boule rouge).

L'idée ici est de représenter la situation par un arbre. Cela nous permet de visualiser plus clairement les différentes probabilités. En utilisant des dessins, nous pouvons rendre la situation plus compréhensible. Au fur et à mesure des tirages, nous modifions notre arbre pour refléter les probabilités en cours. Par exemple, si nous avons tiré une boule bleue au premier tirage, nous aurons alors une chance sur deux d'en tirer une deuxième, puis une chance sur trois d'en tirer une troisième.

Pour traduire cela en calculs, nous pouvons utiliser les probabilités conditionnelles. Par exemple, pour calculer la probabilité d'avoir tiré deux boules rouges, nous pouvons écrire "proba de R1 inter R2". Cette expression équivaut à la probabilité d'avoir tiré une boule rouge au premier tirage, puis dans cet univers, la probabilité d'avoir tiré une boule rouge au deuxième tirage.

En résolvant ces calculs, nous obtenons les probabilités recherchées. Dans cet exemple, la probabilité d'avoir tiré deux boules rouges est de 1/6. Il est important de bien comprendre les énoncés et de faire attention à la présence ou non de remise dans le problème.

N'hésitez pas à poser des questions si quelque chose n'est pas clair et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Un exercice intéressant, assez typique, avec une urne, des boules bleues, des boules rouges. On tire sans remise. Alors là, sans remise tout de suite, je mets un petit surligneur. Sans remise, ça veut dire que ce n'est pas genre j'en ai 5, j'en tire une, je remets, je ferme les yeux, je retire, je remets et je tire dans 5 éléments par exemple. Non, c'est il y en a 4, j'en tire une, je la pose de côté, il n'y en a plus que 3 et je refais un tirage parmi les 3. Sans remise, c'est ça que ça veut dire. C'est à dire que potentiellement j'avais des probas sur 4 boules, je fais un tirage, maintenant je suis dans un monde où je fais des probas sur 3 boules. Donc c'est vachement important, dès le début, de repérer si on est dans le monde de sans remise ou de remise. C'est un truc qui va changer vraiment toute la situation. Il y a beaucoup beaucoup de situations avec remise, beaucoup sans, il faut toujours faire attention à ce qu'on vous dit dans l'énoncé, lisez bien vos mots. Dans l'urne, on a donc des boules, on note des événements. bi, c'est tirer une boule bleue au ième tirage, donc on comprend que b1 c'est boule bleue au premier tirage, b2 c'est boule bleue au deuxième tirage. ri, tirer une rouge. En fait, vu qu'il n'y a que des bleues et des rouges, on comprend très vite, c'est la première remarque que je faisais, que je voulais faire ici, c'est que ri, en fait, c'est bi barre. bi barre, c'est le complémentaire, c'est à dire, c'est ne pas tirer une bleue autour 1, b1 barre. Et bien d'accord, dans ce cas, ça veut dire que j'ai fait quoi ? J'ai tiré une rouge. Donc r1, c'est b1 barre, r2, c'est b2 barre. Sans remise, c'était le drame. Un truc qu'on veut bien retenir. Représenter la situation par un ordre. On va faire ça, mais premièrement, un dessin. Tout bête, mon dessin, on va dire tu ne sers à rien, à quoi ça sert ? Je ne sais pas, ça illustre, moi ça m'aide, les probors, en fait, pour moi c'était voilà, je suis plus âgé, je suis prof, ça va, mais quand j'étais à votre place, c'était des trucs, c'était pas les chapitres que je préférais. J'ai fini prof de stat, comme certains savent, peut-être, j'ai fait prof de statistique. Mais au lycée, plus jeune donc, j'aimais pas trop ça, parce que j'y comprenais souvent rien, et je réalise qu'avec des dessins, des trucs un peu propres, je vois mieux les situations, et plus je décompose, plus je les vois, plus ça devient simple. Donc c'est ce que j'applique à mes cours, et j'espère que ça va vous être aussi. Peut-être que certains d'entre vous vont trouver excellent, mais voilà. Donc je fais un dessin, faites-le plus ou moins joli si vous voulez. Je fais un ordre. Pour souligner ce que j'expliquais sur le fait que c'est sans remise, je fais des micro-dessins aussi à chaque fois. Au début, j'ai cette situation-là. Une chance sur deux, vu que j'ai deux boules, deux boules, j'ai deux rouges, deux bleus, donc j'ai deux chances sur quatre. Je vais simplifier en une chance sur deux, de choper B1, une boule bleue. L'événement B1, une boule bleue au premier tour. Une chance sur deux d'avoir pioché une rouge. Second, enfin, premier sous-univers. Là, je suis dans l'univers où je n'ai plus que deux rouges, et plus qu'une bleue. Parce que j'ai tiré une bleue déjà, sans remise. Quelle est la proba de retirer une bleue ? Maintenant, ce n'est plus une proba en 1 sur 4. C'est une proba, ici, sur trois boules. J'ai une chance sur les trois d'avoir chopé une bleue. Et donc, deux chances sur trois d'avoir chopé une rouge. De la même manière, dans le sous-univers, où en fait, j'ai tiré une rouge de bord, j'arrive dans cette situation, avec deux bleues et une rouge qui restent, pas de remise. Donc, j'ai deux chances sur trois de choper une bleue, une chance sur trois de choper une rouge. Simple. Traduire en calcul, qu'est-ce qu'on me demande ? Quelle est la proba d'avoir tiré deux rouges ? Ça, ce n'est pas bien compliqué. J'écris que c'est proba de R1 inter R2. Maintenant, je suis mon petit arbre. Je vois qu'en fait, ça revient à dire, c'est la proba d'avoir tiré R1, puis, dans cet univers, d'avoir tiré R2. Ça, c'est proba de R2 sachant R1. J'ai ma magnifique formule des probas conditionnels. On commence à bien les comprendre. Et ça fait un demi pour un tiers, un sixième. Voilà, j'espère que c'était clair. Dites-moi si vous avez des questions, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

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