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Inégalité de Bonferroni
Dans cet exercice, nous souhaitons démontrer la formule de la probabilité de l'intersection de n événements, qui est supérieure ou égale à la somme des probabilités moins n moins 1. Nous allons le démontrer par récurrence pour n supérieur ou égal à 2.
L'initialisation se fait pour n=2. Dans ce cas, la probabilité de l'intersection est égale à la somme des probabilités moins 1. En utilisant la formule P(A)+P(B)-P(A∪B), nous obtenons bien P(A1)+P(A2)-1.
Ensuite, nous passons à l'hérédité. La probabilité de l'intersection allant jusqu'à n+1 est égale à la probabilité de l'intersection allant jusqu'à n, multipliée par la probabilité n+1, moins la probabilité de cette intersection union An+1. Nous avons utilisé la formule P(A)+P(B)-P(A∪B), où A représente l'intersection allant jusqu'à n et B représente l'événement n+1.
En utilisant l'hypothèse de récurrence, qui nous dit que cette probabilité est supérieure ou égale à la somme des Pi moins n moins 1, nous pouvons réinjecter P(An+1) dans la somme et obtenir moins n plus 1, correspondant à n+1 moins 1 dans la formule.
Ainsi, nous avons démontré l'hérédité, et donc la récurrence était assez rapide à faire. Nous obtenons donc la formule demandée pour la probabilité de l'intersection de n événements.
