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Corde et tangente
Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons aborder la méthode des cordes et des tangentes dans le cadre de fonctions. Nous découvrirons que dans certaines conditions, il est possible de trouver une tangente et une corde communes. L'exercice que nous allons traiter propose une fonction vérifiant plusieurs caractéristiques : elle est définie de 0 à 1 dans R, est de classe c1 et vérifie f(0) = f'(0) = f'(1) = 0. Notre objectif est de montrer qu'il existe un point c appartenant à l'intervalle [0,1] tel que f'(c) = f(c)/c.
Pour commencer, nous devons comprendre ce que cela représente géométriquement. Si nous prenons un élément c dans l'intervalle [0,1] et le point m sur la courbe correspondant à ce c, nous devons rappeler l'équation de la tangente en ce point ainsi que celle de la corde reliant le point (0,f(0)) au point (c,f(c)). Notre but est de donner une interprétation géométrique de ce résultat.
En général, la corde entre les points m et o (0,f(0)) correspond à la droite verte dans notre dessin, tandis que la tangente est la droite passant par le point m et ayant une pente égale à la dérivée de la fonction en ce point. Donc, les pentes de ces droites sont respectivement f'(c) pour la tangente et f(c)/c pour la corde (dans le cas où f(0) = 0).
Notre objectif est de trouver un point où la corde et la tangente se confondent, c'est-à-dire où ces deux droites passent par le même point et ont la même pente. En d'autres termes, nous cherchons un point où la corde et la tangente coïncident.
Maintenant que nous comprenons cela, examinons les équations de la tangente et de la corde. L'équation de la tangente est y = f'(c)*(x-c) + f(c), tandis que l'équation de la corde est y = f(c)/c * x. Si nous simplifions ces expressions, nous obtenons les formes ax + b, avec a et b correspondant aux coefficients directs et à l'ordonnée à l'origine respectivement.
Pour que ces deux droites soient égales, elles doivent avoir les mêmes coefficients directs et les mêmes ordonnées à l'origine. Ainsi, ces deux équations aboutissent à la condition suivante : f'(c) = f(c)/c. C'est ce que nous cherchons à prouver.
Dans notre dessin, nous avons choisi les bonnes caractéristiques : f(0) = 0, f'(1) = 0 et f'(0) = 0. Le point c que nous cherchons se trouve ici, où la tangente et la corde se confondent.
Pour continuer, nous introduisons une fonction auxiliaire f(x)/x et nous devons montrer qu'elle est continue sur l'intervalle [0,1] et de classe c1 sur l'intervalle ouvert (0,1). Comme f est de classe c1 sur [0,1], elle l'est également sur (0,1) en faisant attention au problème en 0 dû à la division par x. En posant g(0) = 0, nous vérifions sa continuité en 0. En dehors de 0, il n'y a aucun problème pour la continuité.
La question suivante consiste à calculer g'(x) pour tout x dans (0,1). Nous utilisons les théorèmes de dérivation classiques pour calculer g'(x) = f'(x) - f(x)/x^2.
Nous avons alors deux cas à examiner : lorsque f(1) = 0 et lorsque f(1) > 0. Dans le premier cas, c=1 convient car f(c) = f(1) = 0 et f'(c) = f'(1) = 0, ce qui satisfait notre équation recherchée f'(c) = f(c)/c.
Dans le second cas, nous devons calculer g(0), g(1) et g'(1). Nous avons g(0) = 0, g(1) = f(1)/1 > 0 et g'(1) = -f(1) < 0. Nous en déduisons que g' s'annule sur [0,1]. En appliquant le théorème de Rolle sur g', nous trouvons qu'il existe un c entre 0 et 1 tel que g'(c) = 0. En reprenant notre calcul de g'(x), nous obtenons l'équation recherchée f'(c) = f(c)/c.
En conclusion, nous avons répondu au problème en prenant en compte les hypothèses suivantes : f(0) = f'(0) = f'(1) = 0. Dans ce cas, nous avons pu montrer qu'il existe un point c où la corde et la tangente sont confondues.
C'est ainsi que se conclut cet exercice.
