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Congruences

Dans cet exercice, on démontre que la somme de 3 cubes consécutifs est toujours divisible par 9. Pour cela, on utilise les congruences pour simplifier les résultats. On veut montrer que la somme de 3 cubes consécutifs, soit n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3, est congru à 0 modulo 9. 

En développant cette expression, on obtient 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9. On regroupe les termes pour faciliter les calculs et remarquons que le premier terme est déjà divisible par 9. 

En factorisant le deuxième terme par 3n et le troisième terme par 3, on obtient 9(n^2 + 1)(3n + 5). 

Il est facile de voir que le terme 9(n^2 +1) est congru à 0 modulo 9 car il est divisible par 9. De plus, le terme 3n + 5 est congru à 0 modulo 3 car il est divisible par 3. 

Ainsi, nous avons démontré que pour tout n, la somme de 3 cubes consécutifs est divisible par 9.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer que la somme de 3 cubes consécutifs est toujours divisible par 9. Alors, quand on voit ce genre d'exo, il y a un réflexe à avoir qui est de passer par les congruences. Si on passe par les congruences, ça nous facilite énormément la vie, plutôt que d'essayer de montrer que la somme de 3 cubes consécutifs, on peut l'écrire comme 9 fois k. On va passer par les congruences, ça va bien simplifier beaucoup de résultats. Donc, ce qu'on veut montrer finalement, c'est de prendre un nombre n, et on va montrer que la somme de 3 cubes consécutifs, donc c'est n cube plus n plus 1 au cube plus n plus 2 au cube, on va montrer que c'est congru à 0, module 9. Alors, pour ça, on va commencer par développer tout ça, pour voir un peu ce qu'il en est. Alors, on développe, ça nous fait n cube plus n cube plus 3 n carré plus 3 n plus 1, donc ça, c'était celui-ci. Ensuite, plus n cube plus 6 n carré, pardon, plus 12 n plus 8, ça, c'était celui-ci. On regroupe tout ça, ça nous fait 3 n cube plus 9 n carré plus 15 n plus 9. Ensuite, on va essayer de réécrire ça. Donc là, il y a quelque chose à remarquer. On veut que ce soit congru à 0, module 9. Donc, ce qui nous arrange, c'est celui-là et celui-là. Déjà, on sait que ça, c'est congru à 0, module 9, parce qu'il y a 9 qui traînent. On va les regrouper ensemble. Et on va ensuite regrouper ces deux-là ensemble, parce qu'on voit que dans ces deux-là, il y a un 3 qui va ressortir. On va pouvoir factoriser par 3. Donc, on écrit que ça, du coup, c'est 9 fois n carré plus 1, d'accord, n carré plus 1. Et 3, on peut même factoriser aussi avec n. Il y a 3n au facteur de n carré plus 5. Donc là, c'est juste la somme de 3 cubes consécutives qui s'écrit tout simplement comme ça. Alors, comme je disais, très facilement, on voit que ce terme-là, 9 fois n carré plus 1, il est congru à 0, module 9, parce que c'est 9 fois quelque chose. Ça, c'est le principe de congruence. Et l'autre, du coup, on va montrer qu'il est congru aussi à 0, module 9. Mais étant donné qu'il y a un 3 ici, et donc, on va montrer que celui-ci est congru à 0, module 3. Donc, en gros, qu'il est divisible par 3. Parce qu'en gros, si celui-là s'écrit comme 3 fois quelque chose, on aura 3 fois 3 fois quelque chose, donc divisible par 9. Donc, on va montrer que n fois n carré plus 5 est congru à 0, module 3. Et ça réduit beaucoup la difficulté du problème. Donc, on cherche à montrer qu'un truc est congru à 0, module 3. On va faire tous les 4 figures possibles pour n, module 3. Ça veut dire qu'on va voir ce qui se passe quand n est congru à 0, module 3, quand il est congru à 1, module 3, quand il est congru à 2, module 3. On va voir ce qui se passe. Il n'y a que 3 possibilités. Généralement, c'est assez rapide, parce que là, l'expression n'est pas très grande. Et ça va nous donner, normalement, 0 à chaque fois. Donc, c'est parti. Si n est congru à 0, module 3, n fois n carré plus 5 est congru à 0, module 3. Il suffit juste de remplacer. De toute façon, si n est congru à 0, module 3, ça, ça fait 0, ça annule tout, module 3. Si n est congru à 1, module 3, alors n fois n carré plus 5 est congru à 1, fois 1 au carré plus 5 est congru à 6, mais 6 est congru à 0, module 3. Si n, maintenant, est congru à 2, module 3, alors n fois n carré plus 5 est congru à 2, fois 2 au carré plus 5, ça fait 18. 18, c'est aussi congru à 0, module 3. Et donc, comme je disais, les 3 cas de figure nous donnent une congruence à 0, module 3. Donc, on en déduit que pour tout n, n fois n carré plus 5 est congru à 0, module 3. Donc, comme on le voulait, on a bien que 9 divise n puissance 3 plus n plus 1 puissance 3 plus n plus 2 puissance 3.

Cubes consécutifs

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