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Congruences

Dans cet exercice, nous allons montrer que 13 divise 3^126 + 5^126 en utilisant les congruences. Au lieu de montrer que chaque terme est congru à 0 modulo 13, nous allons examiner à quoi chaque terme est congru modulo 13. 

Pour cela, nous cherchons d'abord une puissance de 3 qui est congrue à 1 modulo 13. Nous trouvons que 3^3 ≡ 1 modulo 13. Ensuite, nous divisons 126 par 3 pour obtenir 42 sans reste. Ainsi, 3^126 = (3^3)^42 ≡ 1^42 ≡ 1 modulo 13. 

De la même manière, nous cherchons une puissance de 5 qui convient. Nous trouvons que 5^3 ≡ 8 modulo 13. Ensuite, nous divisons 126 par 4 pour obtenir 31 avec un reste de 2. Ainsi, 5^126 = (5^4)^31 * 5^2 ≡ 1^31 * 12 ≡ 12 modulo 13. 

Finalement, nous avons montré que 3^126 ≡ 1 modulo 13 et 5^126 ≡ 12 modulo 13. Donc, 3^126 + 5^126 ≡ 1 + 12 ≡ 0 modulo 13. Ainsi, nous concluons que 13 divise bien 3^126 + 5^126.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer que 13 divise 3 puissance 126 plus 5 puissance 126. Encore une fois, on va utiliser les congruences pour faire ça. Donc, on va montrer que 3 puissance 126 plus 5 puissance 126 est congrue à 0 modulo 13. Alors, on ne va pas montrer que lui est congrue à 0 et lui est congrue à 0, parce que ce n'est peut-être pas le cas, en fait, probablement même qu'ils se compensent. Ce qu'on va faire, c'est on va regarder lui est congrue à combien modulo 13 et lui, il est congrue à combien modulo 13. Alors, c'est parti ! Donc, pour ça, on se rappelle, il faut d'abord trouver une puissance de 3 qui fait qu'on est congrue à 1 modulo 13. Donc, c'est parti ! 3 puissance 3, on voit que c'est congrue à 1. Alors, 3 puissance 2, c'est 9, on ne l'a même pas testé, on le fait de tête. 3 puissance 3, c'est 27. Et 27, ce n'est pas loin de 26, c'est juste 1 de plus. Donc, ça nous fait congrue à 1 modulo 13. Ensuite, maintenant qu'on a trouvé le 3, ça va être notre division euclidienne, du coup, de 126 par 3, donc ce 3-là. Donc, 126, c'est 3 fois 42, il n'y a même pas de reste. Donc, finalement, 3 puissance 126, c'est 3 puissance 3 fois 42. Donc, avec le calcul des puissances, ça fait 3 puissance 3 à la puissance 42. Et comme 3 puissance 3 est congrue à 1, du coup, ça nous fait 1 puissance 42, enfin, c'est congrue à 1 puissance 42, ce qui est congrue à 1 modulo 13. Bon, finalement, 3 puissance 126 est congrue à 1 modulo 13. On fait la même chose pour 5 puissance 126. Donc, on trouve une puissance de 5 qui va nous arranger. On voit que 5 puissance 2, ça fait 12, ça ne nous arrange pas. 5 puissance 3, c'est 5 au carré fois 5, donc ça, c'est 12 fois 5, enfin, c'est congrue à 12 fois 5, qui est congrue à 8 modulo 13. OK. 5 puissance 4, rapidement, c'est congrue à 5 fois 5 puissance 3, donc c'est congrue à 5 fois 8, à 40. Mais 40, c'est congrue à 1 modulo 13, parce qu'il y a 39 juste avant. Donc, 5 puissance 4 est congrue à 1, donc c'est le 4 qui va nous intéresser. On fait pareil, on divise 126 par 4, le 4 de la puissance. Donc, 126, c'est 31 fois 4 plus 2. Cette fois-ci, il y a un reste. Donc, étant donné qu'on a cette écriture, on va la remplacer dans la puissance. Donc, 126, on l'écrit comme ça. Donc, ça nous fait 5 puissance 4, le tout à la puissance 31, et ensuite, fois 5 puissance 2, d'accord, qui vient du plus 2 de la puissance. Ensuite, 5 puissance 4, c'est congrue à 1. Donc, 5 puissance 4 puissance 31, c'est congrue à 1 puissance 31. Et 5 puissance 2, c'est congrue à 12. On l'a écrit juste ici. Donc, finalement, 5 puissance 126, c'est congrue à 12 modulo 13. Donc, on revient sur notre égalité de départ. 3 puissance 126 plus 5 puissance 126, c'est congrue à 1 plus 12, donc congrue à 0 modulo 13. Donc voilà, 13 divise bien 3 puissance 126 plus 5 puissance 126.

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