All subjects
- All subjects
Inverse
Bonjour à tous, aujourd'hui nous allons étudier une loi étoile sur l'ensemble J et déterminer si celui-ci est abélien. Pour commencer, la loi étoile associe à deux éléments x et y dans l'intervalle (-1,1), l'expression x + y / (1 + xy). Nous devons d'abord montrer que cette loi est interne, c'est-à-dire que x étoile y est un élément de J. Pour cela, nous pouvons utiliser une fonction f qui associe chaque y à x + y / (1 + xy) et montrer que f(x) est bien dans J. En analysant cette fonction, nous constatons qu'elle est dérivable sur (-1,1) et que sa dérivée est strictement positive. Par conséquent, f est strictement croissante sur (-1,1). De plus, nous pouvons déterminer les valeurs limites de f en utilisant la fonction f de -1 qui est égale à -1 et f de 1 qui est égale à 1. Ainsi, nous prouvons que x étoile y est bien dans J, ce qui démontre que la loi étoile est interne.
Ensuite, nous devons montrer que la loi étoile est associative. Pour cela, nous devons prouver que (x étoile y) étoile z est égal à x étoile (y étoile z). Cependant, cette démonstration nécessite de nombreux calculs fastidieux et je vous invite à les faire vous-même. Mais sachez que le résultat est bien la même chose pour les deux expressions, ce qui prouve l'associativité de la loi étoile.
Ensuite, nous devons trouver un élément neutre dans J. En vérifiant pour les valeurs communes de 0 et 1, nous constatons que x étoile 0 est égal à 0 étoile x, qui est égal à x. Ainsi, l'élément neutre dans J est 0.
Ensuite, nous devons montrer que tout élément de J a un inverse. En testant avec des formes simples telles que -x et 1/x, nous constatons que -x étoile x est égal à 0, qui est l'élément neutre. Par conséquent, tout élément de J a un inverse qui est son opposé.
Enfin, nous devons déterminer si la loi étoile est commutative, c'est-à-dire si x étoile y est égal à y étoile x. En remplaçant dans l'expression de la loi étoile, nous constatons que cela est vrai. Par conséquent, la loi étoile est commutative, ce qui signifie que J est un groupe abélien par rapport à cette opération.
Pour la deuxième question, nous avons une nouvelle loi étoile sur l'ensemble G, qui est cette fois R². Nous devons vérifier si cette loi est interne, associative, admet un élément neutre, tout élément de G a un inverse, et si la loi est commutative. En effectuant les vérifications nécessaires, nous constatons que cette fois-ci, la loi étoile n'est pas commutative, ce qui signifie que G n'est pas un groupe abélien.
Voilà, nous avons résumé le cours.
