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Loi usuelles, groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui mélange algèbre générale et algèbre linéaire. Il commence par expliquer que l'ensemble GLN2R représente les matrices inversibles à coefficients réels. L'exercice consiste à déterminer si certaines parties de cet ensemble sont des sous-groupes de GLN2R.

Pour la première question, il est demandé de vérifier si l'ensemble H1-12, constitué des matrices 2x2 diagonales avec des coefficients diagonaux non nuls, est un sous-groupe de GLN2R. Corentin explique que H1-12 remplit les critères pour être un sous-groupe car il contient l'élément neutre (la matrice identité) et que le produit de deux matrices diagonales inversibles donne une autre matrice diagonale inversible.

Pour la seconde question, il est demandé de déterminer si l'ensemble H1-13, composé des matrices 2x2 avec une permutation des coefficients A et B en bas, est un sous-groupe de GLN2R. Corentin montre que H1-13 est également un sous-groupe car il respecte les critères de contenant l'élément neutre et de stabilité par le produit et par l'inverse.

Enfin, pour la troisième question, Corentin constate que la matrice identité I2 n'appartient pas à l'ensemble H1-I3, ce qui signifie que H1-I3 n'est même pas un sous-groupe de GLN2R.

En résumé, dans cette vidéo, Corentin analyse la nature de différentes parties de l'ensemble GLN2R pour déterminer si elles sont des sous-groupes en utilisant des concepts d'algèbre générale et d'algèbre linéaire.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice que je trouve assez intéressant puisqu'il mélange algèbre générale et algèbre linéaire. Alors commençons tout de suite par la lecture dénoncée. Ce dernier est assez simple et assez court puisqu'il nous demande juste de dire si les parties suivantes de GLN2R sont des sous-groupes de GLN2R. Alors je précise que GLN2R, c'est l'ensemble des matrices inversibles à coefficients réels. Pour la première question, on donne pour ensemble l'ensemble des matrices A inversibles telles que A est diagonale avec tous ses coefficients diagonaux non nuls. Pour l'ensemble H1-12, on nous donne les matrices 2-2 qui ont cette forme-là. Donc ici, je reprécise, N est fixé à 2. Et pour l'ensemble H1-13, on nous donne l'ensemble des matrices 2-2, ici aussi, mais sauf que le A et B sont passés en bas. Ici aussi, donc N est fixé à 2. Et puis ce que je vous propose de faire, c'est une petite propriété qui nous permet de caractériser les sous-groupes d'un groupe G donné. En effet, soit un groupe G avec sa loi interne et H une partie de G. Alors H est un sous-groupe de G, si et seulement si H contient l'élément neutre, dans un premier temps, et dans un second temps, si et seulement si, pour tout x et y dans H, x fois y-1 appartient à H. Ceci étant dit, ce que je vous propose de faire aussi, c'est de noter D de lambda1 jusqu'à lambdaN, la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont lambda1 jusqu'à lambdaN. En fait, c'est cette matrice-là. C'est les matrices qu'on va manipuler, au moins pour la question 1. Pour la question 1 d'ailleurs, ce que j'ai envie de remarquer, c'est que H1 est bien une partie de GLN2R. En effet, si je prends une matrice diagonale avec tous ses coefficients diagonaux strictement différents de 0, eh bien, j'ai qu'à prendre pour inverse cette même matrice diagonale, mais cette fois-ci avec les coefficients diagonaux qui sont tous l'inverse. Par exemple, pour lambda1, je prends 1 sur lambda1, pour lambdaN, je prends 1 sur lambdaN. Et je remarque que le produit de ces deux matrices-là, qui sont diagonales à coefficients diagonaux strictement différents de 0, eh bien, ça nous donne bien IN. C'est donc bien que H1 est une partie de GLN2R. Alors, ce que je vérifie, c'est l'élément neutre. Assez facile, puisque je remarque d'emblée que la matrice identité, qui est en fait la matrice diagonale ayant pour coefficients diagonaux 1, eh bien, trivialement, tout ça, c'est différent de 0. Ça appartient bien à H1 vis 1. La stabilité par le produit et par l'inverse à présent. Le deuxième critère de ma propriété. Eh bien, soit D de lambda1 jusqu'à lambdaN et D de mu1 jusqu'à muN appartenant à H1 vis 1. Ce que je fais, c'est que je calcule le produit D de lambda1 jusqu'à lambdaN par D de mu1 jusqu'à muN inversé. Je sais que c'est égal à D de lambda1 jusqu'à lambdaN fois D de 1 sur mu1 jusqu'à 1 sur muN. Ça, c'est à connaître, que l'inverse d'une matrice diagonale, si tant est qu'elle est inversible, c'est l'inverse de ses coefficients. Et ça, par produit, par calcul sur les matrices diagonales, je sais que c'est la matrice diagonale ayant pour coefficients lambda1 divisé par mu1 jusqu'à lambdaN divisé par muN. Ça aussi, c'est à connaître, que le produit de deux matrices diagonales, c'est le produit de ses coefficients. Pour la deuxième question, qui est, je vous le rappelle, de déterminer si cet ensemble H2 est un sous-groupe de GL2 de R. Ici, ce qu'on remarque, c'est que N est égal à 2. H2, c'est bien une partie de GL2 de R puisque j'ai calculé son inverse en faisant un petit système linéaire. Je trouvais que son inverse était ça, bien défini, puisque A est différent de 0. L'élément neutre, ici aussi, la matrice identité qui est l'élément neutre dans GL2 de R, il appartient bien à mon H2 puisque ça revient à prendre une matrice de H2 et à fixer A est égal à 1 et B est égal à 0. Concernant la stabilité par le produit et par l'inverse, soit une première matrice et une deuxième matrice dans H2, je calcule le produit de la première par l'inverse de la seconde. Je mets mes calculs à bien et je trouve que la matrice résultante de mon calcul est bien dans H2 en posant A est égal à 1 sur A2 et B, cette formule-là. Concernant la question 3 à présent, c'est vite réglé puisque je remarque que I2 n'appartient même pas à H1-I3. Ainsi, H1-I3 n'est même pas en sous-groupe de GL2 de R.

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