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Morphisme de groupe
Dans cette vidéo, Corentin aborde la question de savoir si un sous-groupe d'un groupe produit est nécessairement le produit de deux sous-groupes.
Tout d'abord, il rappelle ce qu'est un groupe produit. Il s'agit de deux groupes, G1 et G2, avec leurs lois internes respectives. Le groupe produit est défini comme l'ensemble des couples (x1, x2) avec x1 dans G1 et x2 dans G2. La loi étoile, définie par x1*y1 étoile x2*y2, est égale à x1 fois x2 au sens de la première loi et y1 fois y2 au sens de la deuxième loi.
Ensuite, Corentin explique qu'il veut fournir un contre-exemple pour montrer que la réponse à la question est non. Il choisit G1 et G2 comme étant égal à z+ (l'ensemble des entiers positifs). Il exhibe un sous-groupe de z carré, muni de la loi plus, qui n'est pas le produit de deux sous-groupes. Ce sous-groupe est l'ensemble des couples xx, avec x dans z.
Il souligne que ce sous-groupe n'est pas le produit de deux sous-groupes car il ne peut pas s'écrire comme le produit de z x z, qui est l'ensemble des couples (x, y) avec x dans z et y dans z. Il précise que le couple (1, 2) n'appartient pas à H, le sous-groupe qu'il a exhibé, car H est uniquement l'ensemble des couples (xx) avec x dans z.
En conclusion, il répond à la question en disant que non, un sous-groupe d'un groupe produit n'est pas nécessairement le produit de deux sous-groupes. Il remercie ensuite l'audience.
