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Loi usuelles, groupes

Dans cette vidéo, Corentin explique la méthode pour montrer qu'un ensemble avec certaines lois est un corps commutatif. Il commence par rappeler la définition d'un corps et explique que pour prouver que cet ensemble est un corps, il faut vérifier plusieurs points.

La méthode 1, plus fastidieuse, consiste à appliquer la définition et à vérifier un à un les points de cette définition. Corentin montre notamment que l'addition est associative et commutative, que 0 est l'élément neutre et que tout élément a a un symétrique -a.

La méthode 2, plus rapide, consiste à montrer que l'ensemble est un sous-corps de R^3 en vérifiant que cet ensemble est stable par l'addition, la multiplication et l'inverse, et en montrant que 1 appartient à cet ensemble.

Corentin souligne l'importance de connaître la définition d'un corps, ainsi que l'utilisation du conjugué pour simplifier les calculs. Il rappelle également que pour prouver qu'un ensemble est un corps, il est souvent plus rapide de montrer qu'il est un sous-corps d'un autre ensemble.

En conclusion, il résume les points importants à retenir : connaître la définition d'un corps, utiliser le conjugué lorsque nécessaire et montrer que l'ensemble est un sous-corps pour simplifier la démonstration. Enfin, il remercie les spectateurs et termine la vidéo.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice classique de chez Classique que tu auras forcément en colle à un moment ou à un autre. Cet exercice, c'est montrer qu'un certain ensemble muni de certaines lois est un corps commutatif. Passons tout de suite à un rappel sur ce qu'est un corps. Un corps, K plus fois, est un ensemble muni de deux lois, donc plus et fois, vérifiant que K muni de plus est un groupe commutatif dont l'élément neutre est noté 0 et K privé de 0, donc cet élément neutre, muni de fois est un groupe. Ajouté à cela, fois est distributif par rapport à plus. Ici, on vous rappelle la notion de distributivité. Et on peut dire qu'un corps est commutatif si K privé de 0 fois est un groupe commutatif, autrement dit un groupe abélien. Entrons dans le livre du sujet. Ce que je vous propose de faire, c'est... Allons-y, appliquons la définition d'un corps et vérifions un à un les points de cette définition. C'est ce que j'appelle la méthode 1, la fastidieuse. S'il y en a une fastidieuse, c'est qu'il y a une méthode 2 qui est un peu plus rapide, vous verrez. Vérifions que plus est un terme, soit a1 b1, a2 b2 dans Q carré, eh bien 1 plus b1 racine de 2 plus a2 plus b2 racine de 2, ça s'écrit bien comme a tilde plus b tilde avec a tilde dans Q et b tilde dans Q. Montrons que plus est associative et commutative. Ça, clairement, c'est bon. Le neutre, ici, c'est 0. Ensuite, le symétrique, le neutre, pareil, si vous voulez, je vous le montre, mais a plus b racine de 2 plus 0, c'est égal à a plus b racine de 2. Le symétrique, soit a et b dans Q carré, on remarque que a plus b racine de 2 moins a moins b racine de 2, c'est égal à 0, qui est le neutre. Donc, on déduit le symétrique de a plus b racine de 2 et moins a moins b racine de 2. Là, vous sentez qu'on en a marre, c'est fastidieux. Si seulement il existait une méthode plus rapide, vous verrez. Montrons que la loi fois est interne, soit a1 b1 et a2 b2 dans Q carré, mais en vrai, ça nous permet de réviser quand même un peu les lois et l'histoire d'interne, de commutativité, d'associativité et tout ça. Donc, ce n'est pas complètement perdu non plus. Là, je fais 1 plus b1 racine de 2 fois a2 plus b2 racine de 2, je développe, je réduis et je remarque que ça appartient à Q. Conclusion, tout ça appartient à mon ensemble de départ. Fois est associative et commutative, ça c'est OK. Et le neutre pour fois, c'est 1. Cherchons en présent le symétrique pour la loi fois, soit a et b dans Q carré, je remarque que a plus b racine de 2 fois 1 divisé par a plus b racine de 2, c'est égal à 1. Mais sauf que ça, ce que j'ai envie de faire, ça on ne sait pas en fait. On ne sait pas si c'est la question, la difficulté, ça va être de se demander si ça, ça appartient bien à mon ensemble de départ. Quand l'autre, je le rappelle, il n'a pas de nom. En fait, la difficulté, c'est de savoir si ça, ça appartient à mon ensemble de départ. Ce n'est pas tellement de trouver le symétrique. Pour être sûr que ça appartient bien à mon ensemble de départ, ce que je vais faire, c'est que je vais utiliser la technique vraiment classique et à connaître par cœur du conjugué. C'est-à-dire, le conjugué, c'est un peu la même idée que dans les complexes, sauf qu'on multiplie par le conjugué pour la racine. C'est-à-dire que la partie qui contient la racine, je mets un moins devant et je multiplie en haut et en bas par ça. Je mène mes calculs, je développe en bas, en haut, je n'ai rien à faire, puis je sépare. Et puis là, j'ai clairement quelque chose qui appartient à Q puisque ça, ça appartient à Z, ça, ça appartient à Z. Et ici aussi. Donc, conclusion, on a bien le symétrique pour fois qui appartient à l'ensemble de départ. Donc c'est bon, on a gagné. Passons à présent à la méthode 2, enfin, vous allez me dire. La rapide. Ce que j'ai envie de faire, c'est de montrer que mon ensemble là, c'est un sous-corps de R plus 3. Et là, c'est beaucoup plus rapide puisqu'il suffit juste de montrer que cet ensemble est stable par plus et par fois et que cet ensemble est stable par l'inverse pour moins et fois. Puis que 1 appartient bien à cet ensemble-là. Assez rapide. Puis ça, on l'a vérifié déjà avant, donc je vous laisse le faire. Voilà. Alors, si je devais résumer, les choses vraiment importantes à retenir. Bien évidemment, bien connaître la définition d'un corps. Mais aussi, ce qui a été important, ça a été de penser à passer au conjugué ici. Et puis enfin, toujours, que ce soit pour les corps, mais aussi, vous allez voir, pour les espaces vectoriels, c'est toujours beaucoup plus rapide de montrer que c'est un sous-corps de quelque chose, de la même manière que de montrer que c'est un sous-groupe ou de montrer que c'est un sous-espace vectoriel. Vous verrez. Et enfin, est-ce que j'ai quelque chose à rajouter ? Ben non, c'est tout. Merci à tous.

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